专题02 函数多选题（解析版）

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专题02   函数多选题1.（2019·枣庄市第三中学高三月考）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。则下列命题中正确的是：（    ）A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则【答案】ACD【解析】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符；  假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题．故选：ACD.2.（2019·山东高三期中）已知函数,若,且,则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】画出函数的大致图象如下图，得出,则,故A错误,B正确;由图可知,故C正确;因为,所以,故D正确.则结论正确的是BCD，故选：BCD.3.（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )A．函数是奇函数 B．对任意的，都有C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增【答案】 BCD【解析】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；所以函数的周期是；其图像如下：A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；故选：BCD.4.（2019·山东菏泽一中高三月考）设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（    ）A． B． C． D．【答案】 BCD【解析】由题意知，函数的定义域为，，，使得成立，所以函数的值域关于原点对称，对于A中，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；对于B中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于C中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于D中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意，故选BCD.5.（2020·山东高三期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）A．当时，B．函数有3个零点C．的解集为D．，都有【答案】 BCD【解析】（1）当时，，则由题意得，∵ 函数是奇函数，∴ ，且时，，A错；∴ ，（2）当时，由得，当时，由得，∴ 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得，∴ 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得，∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上有最小值，且，又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，∴当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，∴ 对，都有，D对；故选：BCD．6.（2019·夏津第一中学高三月考）定义新运算，当时，；当时，，则函数，的值可以等于（    ）．A． B．1 C．6 D．【答案】 BCD【解析】由题意知，易知函数在上单调递增，所以，所以函数，的值可以等于为.故选：.7.（2019·荆门市龙泉中学高三月考（理））已知函数.下列命题为真命题的是（    ）A．函数是周期函数 B．函数既有最大值又有最小值C．函数的定义域是，且其图象有对称轴 D．对于任意，单调递减【答案】 BC【解析】由函数A.函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x轴，故不是周期函数；B. 令， 单调递增，又且对称轴是x＝，故在取得最小值，又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当恒成立，且因为<0在 恒成立，故的最小值在 取得，由，单增，又 单调递减，同理，在单调递减，在 单调递减，在单增，故 故f（x）有最大值又有最小值；B正确．C.函数f（x）的定义域是R，且故其对称轴是x＝，此命题正确；D，f（），f（），∴f（）＜f（），故D不正确，综上，BC8.（2019·山东高三月考）对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】 ABD【解析】由题意可得,若函数为2倍值函数,需要在定义域内至少有两个不相等的实数根,A,解得或满足题意;B解得或满足题意;C无解,不满足题意;D解得或满足题意.故选:ABD.9.（2019·山东高三期中）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（    ）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】 CD【解析】因为，可得，即为偶函数，由题意可得时，有两个零点，当时，，即时，，由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得：或（舍去），即有切线的斜率为，故，故选：CD.10.（2019·山东高三期中）设是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数中，具有性质P的函数为（    ）①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④【答案】 ABC【解析】对A，在函数图象上取，有成立，故A正确；对B，在函数图象上取，有成立，故B正确；对C，在函数图象上取，有成立，故C正确；对D，因为，因为，所以恒成立，故D错误.故选ABC.