数学第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构示范课课件ppt

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1.初步理解棱柱､棱锥､棱台的概念,掌握它们的形成. 2.了解棱柱､棱锥､棱台中一些常用名称的含义. 3.了解棱柱､棱锥､棱台所具有的特点,初步掌握这几种几何体的简单作图方法. 4.通过对日常生活中简单几何体实物模型的观察,初步体会从感性到理性认识事物的过程.
1.棱柱:有两个面________,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 2.棱锥:有一个面是______,其余各面都是有一个公共顶点的________,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 3.棱台:用一个______棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台.
1.棱柱的概念与分类 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体,它的形成使之具备如下几个特点: (1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等; (2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.
注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视. 棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱､四棱柱､五棱柱､六棱柱､…､n棱柱(n∈N*,n≥3).
2.棱锥､棱台的形成与分类 每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分. 由于棱锥､棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥､棱台也与棱柱一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)､四棱锥(台)､…､n棱锥(台)(n∈N*,n≥3).
3.棱柱､棱锥的本质特征 棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形, 但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱 的组合体.其原因是不具备条件(3).
棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).
题型一 几何体的概念
例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台. 以上命题中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3
分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.
解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面ABC与平面A′B′C′是对应边分别平行的全等三角形,其他面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.
对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题. 对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得很含糊,故不是真命题. 综上可知,应选A.
规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥､棱柱､棱台的几何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命题.
变式训练1:下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
题型二 几何体的几何特征
例2:如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M—CC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1—DCND1.
规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公共边是否平行.
变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,E､F分别是AB和BC的中点,沿折痕DE､EF､FD折起得到一个空间几何体,请你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.
解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.
题型三 组合体问题
例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单几何体构成的?
解:图中的几何体可以看作是一个长方体 割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看 成是一个长方体与两个四棱柱组合而成 的几何体.如下图所示:
规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外,观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.
变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几何体是( ) A.①②③⑤B.③④⑤ C.①④⑤D.②③④
例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都填上)
错解:①③ 错因分析:①正确,③不正确.思维想象能力较差,可动手制作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 正解:①②
1.判断题 (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体,是棱柱.( ) (2)一个棱柱至少有五个面.( ) (3)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台.( ) (4)棱台的各侧棱延长后交于一点.( ) (5)棱台的侧面是等腰梯形.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2.下列命题中正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
3.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是( ) A.四棱柱 B.四棱锥 C.四棱台D.五棱柱
4.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,P是对角线AC与BD的交点,若P为四棱锥的顶点,棱锥的底面为长方体的一个面,则这样的四棱锥有( ) A.3个B.4个 C.5个D.6个
解析:以P为顶点,底面分别是长方体的四个侧面和下底面,共5个.
5.如下图几何体中是棱柱的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:由图知,①､③､⑤是棱柱.
6.六棱台是由一个几何体被平行于底面的一个平面截得而成,这个几何体是( ) A.六棱柱B.六棱锥 C.长方体D. 正方体
7.一个棱柱至少有________个面,面数最少的棱柱,有________条棱,有________条侧棱,有________个顶点 . 解析:面数最少的棱柱是三棱柱.
8.明矾晶体的形状如右图所示.它共有________个顶点,________个面,它可以看作是由________个________(几何体)组成.
9.一个棱锥的各条棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( ) A.三棱锥B.四棱锥 C.五棱锥D.六棱锥
解析:六棱锥的侧棱长一定与底面边长不相等,若相等,则顶点在底面内.
10.我们将侧棱和底面的边统称为棱,则三棱锥有4个面,6条棱,4个顶点,如果面数记作F,棱数记作E,顶点数记作V,那么F,E,V之间有什么关系?再用三棱柱,四棱台检验你得到的关系,你知道这是个什么公式吗?
答案:V+F-E=2 欧拉公式
11.如题图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为( )
A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤
解析:观察所给模块图形可知,选A.
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上､下､东､南､西､北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展开,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是( ) A.南B.北 C.西 D.下