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数学必修3第三章 概率综合与测试复习ppt课件
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这是一份数学必修3第三章 概率综合与测试复习ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了第二节古典概型，答案C，第三节几何概型，答案B，答案075，答案A等内容，欢迎下载使用。
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第一节 随机事件的概率
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
基础自主梳理 梳理基础知识 检测自身能力
1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下， _____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称 __________． (2)一般地，我们把在条件S下， ______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称 _____________． (3) ________________________统称为相对于条件S的确定事件，简称 __________． (4) ________________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称 __________． (5) __________和 __________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
在条件S下可能发生也可能不发生
2．概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在 __________上，把这个 __________记作P(A)，称为事件A的概率，简称A的概率．
3．事件的关系与运算(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生则事件B __________，这时称事件B包含事件A(或称 ___________________ )，记作 __________ (或 __________)．(2)若 ________，且 ________，那么称事件A与事件B相等，记作 ________.(3)若某事件发生当且仅当事件A发生 __________ 事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或 __________ )，记作A∪B(或 __________)．(4)若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或 __________)，记作 __________ (或 __________ )．(5)若A∩B为不可能事件(A∩B＝Ø)，那么称事件A与事件B __________，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(6)若A∩B为 ______________，A∪B为 ____________，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
4．概率的几个性质(1)概率的取值范围是： __________.(2)必然事件的概率为 __________ .(3)不可能事件的概率为 __________ .(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ _____________． 特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ __________．
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品 ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3/7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：该题考查频率和概率的定义及频率与概率的关系．答案：A
2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683 431 257 393 027 556 488 730 113537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
解析：20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为5/20＝0.25.答案：B
3．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：P1＝0.8＋0.12＋0.05＝＝1－P1＝1－0.97＝0.03.该题考查互斥事件、对立事件的概率及相应事件概率的求法．答案：0.97 0.03
5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．(结果用分数表示)
热点分类讲练 点击重点难点 关注热点题型
热点之一 事件与事件的关系 判断一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件的依据是在一定条件下，所要求的结果是否一定出现，不可能出现或可能出现也可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．
[例1] (1)在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾；(2)导体通电，发热；(3)同性电荷，互相吸引；(4)实心铁块丢入水中，铁块浮起；(5)买一张福利彩票，中奖；(6)掷一枚硬币，正面朝上．上述事件中是确定性事件的是________，是随机事件的是________．
[思路探究] 随机事件的判断方法是看这个事件是否一定发生或者一定不发生，如果不能肯定，则就是随机事件．[课堂记录] 根据物理知识(1)(2)必然事件，(3)(4)是不可能事件，故(1)(2)(3)(4)为确定性事件；买一张彩票可能中奖也可能不中奖，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故(5)(6)是不确定性事件，是随机事件．
即时训练： 已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4
解析：易知①③④正确，②错误．答案：C
热点之二 随机事件的频率与概率 概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近．只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率．
[例2] 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如下图，请回答：(1)该中学参加本次数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？
[课堂记录] 由概率的定义，我们可以看出，概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一种近似．(1)由直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．(2)90分以上的人数为：7＋5＋2＝14，∴获奖的频率为14/32＝0.4375，即本次竞赛获奖概率大约是0.4375.[思维拓展] 本题利用直方图求出获奖频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．
即时训练： 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
热点之三 互斥事件与对立事件的概率 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
[例3] 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
[思维拓展] 解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
即时训练： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？
解：从6个球中任取3个，可以按顺序来取，第一步有6种，第二步有5种，第三步有4种，共有6×5×4＝120种．但对(1,2,3)这3个球来说，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)是同一种情况，所以从6个球中取3个球共有
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本节主要考查随机事件的概率和互斥事件的概率加法公式，以及对立事件．题型多以选择题、填空题为主，有时也有解答题．考查内容多与实际生活中的问题紧密结合，难度一般不大．
[例4] (2010·山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(57)
第二节 古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 __________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 __________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件 __________． (2)每个基本事件出现的可能性 __________． 3．古典概型的概率公式
2．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．
3．甲乙等4人参加4×100 m接力，甲跑第1棒或乙跑第4棒的概率是________．
解析：设x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)12种结果，甲跑第1棒或乙跑第4棒有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)5种可能．
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标．则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析：基本事件包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…(6,6)共计36个，记事件A＝{P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)共8个．
热点之一 古典概型的概念古典概型必须满足两点：①有限性，②等可能性，只有两点都满足时才是古典概型．
[例1] 判断下列命题正确与否．(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4、－3、－2、－1、0、1、2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，那么每个同学当选的可能性相同．
[思路探究] 利用古典概型的定义及性质加以判断．
即时训练： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(Ⅰ)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(Ⅱ)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解：(Ⅰ)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．(Ⅱ)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3.由(Ⅰ)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝3/8.
热点之二 简单的古典概型问题1．计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.2．含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P()进一步求解．
[例2] 袋中装有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2球，求下列事件的概率：(1)A：取出的2球都是白球；(2)B：取出的2球1个是白球，另1个是红球．
[课堂记录] (1)设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个小球中任取2个，其基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件．从袋中的6个小球中任取2个，所取的2球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以P(A)＝6/15＝2/5.(2)从袋中的6个小球中任取2个，其中1个是红球，而另1个是白球，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}共8个基本事件．所以P(B)＝8/15.
即时训练： (2010·辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
热点之三 较复杂的古典概型问题求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必要时将所求事件化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．
[例3] 已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q，在平面直角坐标系中，点A(x′，y′)的坐标x′∈M，y′∈M，计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(3)点A正好落在圆面x2＋y2≤10上的概率．
[思路探究] 本题可先化简集合P、Q，并求得P∪Q，然后利用列举法求得基本事件的个数，并代入公式求得概率．
即时训练： (2010·辽宁育才中学模拟)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
从近两年的高考试题来看，古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力．
[例4] (2010·福建)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
[解] (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝2/16＝1/8.
1．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1/2.答案：1/2
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(58)
第三节 几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ______ ( ______或 ______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 __________． 2.几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．5.求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
2．如右图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为( )
3．为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A．12B．9C．8D．6
解析：正方形面积为36，阴影部分面积为200/800×36＝9.答案：B
4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________．
5．(2010·广东调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为________．
热点之一 与长度有关的几何概型1．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．2．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
[例1] 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
[思路探究] 从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个．但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型．[课堂记录] 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以[思维拓展] 应正确判断事件A发生的区域长度．
即时训练： 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
热点之二 与面积(或体积)有关的几何概型1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为2．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
[例2] 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
[思路探究] 本题第(1)问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第(2)问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．
即时训练： 例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋y2≥4的概率．
解：如右图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2＋y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求的概率
热点之三 生活中的几何概型 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．
即时训练： 甲、乙两人约定上午7：00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7：20,7：40,8：00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率．
解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如右图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则
从近年的高考试题来看，几何概型逐渐成为高考的热点内容，题型以选择题、填空题为主，分值在5分左右，属容易题，以考查基本概念为主，兼顾基本运算能力．
1．(2010·湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
2．(2010·辽宁卷)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(59)
高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
第一节 随机事件的概率
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
基础自主梳理 梳理基础知识 检测自身能力
1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下， _____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称 __________． (2)一般地，我们把在条件S下， ______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称 _____________． (3) ________________________统称为相对于条件S的确定事件，简称 __________． (4) ________________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称 __________． (5) __________和 __________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
在条件S下可能发生也可能不发生
2．概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在 __________上，把这个 __________记作P(A)，称为事件A的概率，简称A的概率．
3．事件的关系与运算(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生则事件B __________，这时称事件B包含事件A(或称 ___________________ )，记作 __________ (或 __________)．(2)若 ________，且 ________，那么称事件A与事件B相等，记作 ________.(3)若某事件发生当且仅当事件A发生 __________ 事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或 __________ )，记作A∪B(或 __________)．(4)若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或 __________)，记作 __________ (或 __________ )．(5)若A∩B为不可能事件(A∩B＝Ø)，那么称事件A与事件B __________，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(6)若A∩B为 ______________，A∪B为 ____________，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
4．概率的几个性质(1)概率的取值范围是： __________.(2)必然事件的概率为 __________ .(3)不可能事件的概率为 __________ .(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ _____________． 特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ __________．
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品 ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3/7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：该题考查频率和概率的定义及频率与概率的关系．答案：A
2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683 431 257 393 027 556 488 730 113537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
解析：20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为5/20＝0.25.答案：B
3．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：P1＝0.8＋0.12＋0.05＝＝1－P1＝1－0.97＝0.03.该题考查互斥事件、对立事件的概率及相应事件概率的求法．答案：0.97 0.03
5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．(结果用分数表示)
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热点之一 事件与事件的关系 判断一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件的依据是在一定条件下，所要求的结果是否一定出现，不可能出现或可能出现也可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．
[例1] (1)在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾；(2)导体通电，发热；(3)同性电荷，互相吸引；(4)实心铁块丢入水中，铁块浮起；(5)买一张福利彩票，中奖；(6)掷一枚硬币，正面朝上．上述事件中是确定性事件的是________，是随机事件的是________．
[思路探究] 随机事件的判断方法是看这个事件是否一定发生或者一定不发生，如果不能肯定，则就是随机事件．[课堂记录] 根据物理知识(1)(2)必然事件，(3)(4)是不可能事件，故(1)(2)(3)(4)为确定性事件；买一张彩票可能中奖也可能不中奖，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故(5)(6)是不确定性事件，是随机事件．
即时训练： 已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4
解析：易知①③④正确，②错误．答案：C
热点之二 随机事件的频率与概率 概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近．只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率．
[例2] 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如下图，请回答：(1)该中学参加本次数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？
[课堂记录] 由概率的定义，我们可以看出，概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一种近似．(1)由直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．(2)90分以上的人数为：7＋5＋2＝14，∴获奖的频率为14/32＝0.4375，即本次竞赛获奖概率大约是0.4375.[思维拓展] 本题利用直方图求出获奖频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．
即时训练： 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
热点之三 互斥事件与对立事件的概率 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
[例3] 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
[思维拓展] 解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
即时训练： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？
解：从6个球中任取3个，可以按顺序来取，第一步有6种，第二步有5种，第三步有4种，共有6×5×4＝120种．但对(1,2,3)这3个球来说，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)是同一种情况，所以从6个球中取3个球共有
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本节主要考查随机事件的概率和互斥事件的概率加法公式，以及对立事件．题型多以选择题、填空题为主，有时也有解答题．考查内容多与实际生活中的问题紧密结合，难度一般不大．
[例4] (2010·山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(57)
第二节 古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 __________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 __________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件 __________． (2)每个基本事件出现的可能性 __________． 3．古典概型的概率公式
2．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．
3．甲乙等4人参加4×100 m接力，甲跑第1棒或乙跑第4棒的概率是________．
解析：设x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)12种结果，甲跑第1棒或乙跑第4棒有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)5种可能．
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标．则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析：基本事件包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…(6,6)共计36个，记事件A＝{P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)共8个．
热点之一 古典概型的概念古典概型必须满足两点：①有限性，②等可能性，只有两点都满足时才是古典概型．
[例1] 判断下列命题正确与否．(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4、－3、－2、－1、0、1、2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，那么每个同学当选的可能性相同．
[思路探究] 利用古典概型的定义及性质加以判断．
即时训练： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(Ⅰ)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(Ⅱ)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解：(Ⅰ)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．(Ⅱ)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3.由(Ⅰ)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝3/8.
热点之二 简单的古典概型问题1．计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.2．含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P()进一步求解．
[例2] 袋中装有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2球，求下列事件的概率：(1)A：取出的2球都是白球；(2)B：取出的2球1个是白球，另1个是红球．
[课堂记录] (1)设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个小球中任取2个，其基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件．从袋中的6个小球中任取2个，所取的2球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以P(A)＝6/15＝2/5.(2)从袋中的6个小球中任取2个，其中1个是红球，而另1个是白球，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}共8个基本事件．所以P(B)＝8/15.
即时训练： (2010·辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
热点之三 较复杂的古典概型问题求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必要时将所求事件化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．
[例3] 已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q，在平面直角坐标系中，点A(x′，y′)的坐标x′∈M，y′∈M，计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(3)点A正好落在圆面x2＋y2≤10上的概率．
[思路探究] 本题可先化简集合P、Q，并求得P∪Q，然后利用列举法求得基本事件的个数，并代入公式求得概率．
即时训练： (2010·辽宁育才中学模拟)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
从近两年的高考试题来看，古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力．
[例4] (2010·福建)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
[解] (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝2/16＝1/8.
1．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1/2.答案：1/2
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(58)
第三节 几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ______ ( ______或 ______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 __________． 2.几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．5.求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
2．如右图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为( )
3．为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A．12B．9C．8D．6
解析：正方形面积为36，阴影部分面积为200/800×36＝9.答案：B
4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________．
5．(2010·广东调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为________．
热点之一 与长度有关的几何概型1．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．2．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
[例1] 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
[思路探究] 从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个．但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型．[课堂记录] 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以[思维拓展] 应正确判断事件A发生的区域长度．
即时训练： 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
热点之二 与面积(或体积)有关的几何概型1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为2．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
[例2] 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
[思路探究] 本题第(1)问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第(2)问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．
即时训练： 例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋y2≥4的概率．
解：如右图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2＋y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求的概率
热点之三 生活中的几何概型 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．
即时训练： 甲、乙两人约定上午7：00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7：20,7：40,8：00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率．
解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如右图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则
从近年的高考试题来看，几何概型逐渐成为高考的热点内容，题型以选择题、填空题为主，分值在5分左右，属容易题，以考查基本概念为主，兼顾基本运算能力．
1．(2010·湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
2．(2010·辽宁卷)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(59)
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