精品解析：2020年浙江省温州市平阳县五校联考九年级中考二模数学试题（解析版 +原卷版）

五校联盟2020年中考二模考试数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1.2020的倒数是（　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答.

【详解】2020的倒数是，

故选：C

【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键.

2.计算，正确的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减即可．

【详解】解：

故选：B．

【点睛】此题主要考查同底数幂的除法，正确掌握同底数幂的除法法则是解题关键．

3.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图的概念即可快速作答.

【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.

【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.

4.抛物线的顶点坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可．

【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是（0，−2），
故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数y＝a(x−h)²＋k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题基础题，比较简单．

5.不等式组的解是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出不等式的解集，最后求解集的交集即得所求的解集．

【详解】解：，

解①得；，

解②得：，

∴不等式组的解集为：；

故答案为：B．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法、集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式得到k的取值范围，然后对各项进行判断．

【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，解得，

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

7.挂钟分针长，经过分钟，它的针尖转过的弧长是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据弧长公式为，知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°，即可求得.

【详解】根据题意，得分针1分钟走过的角度为6°，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系，熟练掌握，即可解题.

8.如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，经过秒时，测得小球的平均速度为米秒．已知，则小球下降的高度是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，根据余弦的定义求出，根据勾股定理计算即可得出答案．

【详解】解：经过5秒时，测得小球的平均速度为0.5米秒．

米．

在中，，

，

解得，，

由勾股定理得，（米．

故选：B．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

9.二次函数的部分对应值如下表：

则关于的一元二次方程的解为（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解．

【详解】解：时，；时，，

抛物线的对称轴为直线，

或时，，

关于的一元二次方程的解为，．

故选：C

【点睛】本题考查了二次函数性质和用函数观点看一元二次方程，一元二次方程a，（a，，是常数，可以看做求二次函数，，是常数，与轴的交点横坐标．

10.如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.

【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=

∵矩形的周长为，

∴x+y=8①

∵和分别为和的内切圆，

∴②

由矩形的对称性知，

∵，

∴，

∴，

即③

由①、②、③联立方程组，解得：

r=1，xy=14，，

作EH⊥FH于H，由勾股定理得：

=36-32+8

=12，

∴EF=，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.因式分解：_____．

【答案】（2a+3）（2a﹣3）

【解析】

【分析】

利用平方差公式进行分解即可.

【详解】(2a)2-32=(2a+3)(2a﹣3)，

故答案为(2a+3)(2a﹣3).

【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.

12.在一个不透明的袋中，装有个黄球，个红球和个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是________．

【答案】

【解析】

【分析】

用红球的个数除以所有球的个数即可得出其概率.

【详解】根据题意，得

是红球的概率是；

故答案为：.

【点睛】此题主要考查概率的运用，熟练掌握，即可解题.

13.在一次体育模拟考试中，某班个同学的跳绳成绩如下：

，，，，，，（单位：次分），

则这组数据的中位数是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先将这组数据从小到大顺序排列，再找到最中间位置的数，这个是就是中位数.

【详解】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间位置的数是168，所以中位数是168，

故答案为：168.

【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键.

14.如图，四边形内接于，连接，若，且，则的度数为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数即可．

【详解】∵AC=AD，且∠DAC=50°，

∴

∴∠B=180°-∠D=180°-65°=115°，

故答案为：115°．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆内接四边形对角互补．

15.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形，点的坐标为，点，均在第一象限，反比例函数的图象经过点，且与边交于点，若是的中点，则的值为________．

【答案】2．

【解析】

【分析】

过点C作CM⊥x轴，垂足为M，设点C的坐标为（m，n），根据菱形的性质，得D（，），从而得到m的值，进而得到M的坐标，即可求解．

【详解】过点C作CM⊥x轴，垂足为M，

设点C的坐标为（m，n），

∵菱形，点的坐标为，

∴OA=BC=3，

∴B（m+3，n），

∵是的中点，

∴D（，），

∵C，D都在反比例函数图象上，

∴， 解得：m=2，

∴OM=2，

∵OC=3，

∴CM=，

∴C（2，），

∴k=2．

故答案是：2．

【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积是定值，是解题的关键．

16.如图1，在中，，，，分别是边，的中点，在边上取点，点在边上，且满足，连接，作于点，于点，线段，，将分割成I、II、III、IV四个部分，将这四个部分重新拼接可以得到如图2所示的矩形，若，则图1中的长为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

本题可用图一图二等面积性，求解部分边长，利用等腰三角形三线合一以及中位线性质创造三角形全等的条件，通过假设未知数利用三角函数表示未知边长，继而用勾股定理列方程求解本题．

【详解】连接DE，DF，作FM⊥AB，AO⊥BC，如下图所示：

∵AB=AC=10，点D，E分别为AB，AC中点，FG=BC，DP⊥EF，GQ⊥EF，BC=12，

∴DE∥BC，DE=BC=FG，∠DPE=∠GQF=90°，AO=8，，，DB=5．

∴∠DEP=∠GFQ，，

故有△DPE△GQF（AAS），

∴DP=GQ，FQ=PE．

∵FQ-PQ=PE-PQ，

∴FP=QE．

设HI=4x，IJ=5x，

因为矩形HIJK，故，

∴ 且由图形拼接可得：，．

在△FQG中，，

，

∴△DPF中，．

设BF=y，有 ，则．

∴．

∵ ,

∴．

在△DMF中，，

∴，

解方程求得．

故本题答案．

【点睛】本题考查等腰三角形，中位线，全等三角形的证明以及三角函数的综合应用，题干当中中点较多时，需考虑中位线定理，全等证明的目的是进行边的替换，三角函数的应用必须以直角三角形为前提，几何图形求解具体边长时勾股定理为常用工具．

三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.（1）计算：

（2）解方程：

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据零指数幂及二次根式的性质计算即可；

（2）根据解一元一次方程的步骤先去分母再依次求解即可.

【详解】解：（1）原式

（2）去分母得

去括号得：

移项、合并同类项得：.

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算及解一元一次方程，是一道综合题，熟练的掌握整数指数幂的计算、二次根式的化简以及解有分母的一元一次方程是解题的关键.

18.如图，在正方形中，是边上的点，连接，作于点，且点在边上．

（1）求证：．

（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由正方形的性质得AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，由“ASA”证△ABE≌△BCF；

（2）由全等三角形的性质可得BE＝CF＝2，由勾股定理可求解．

【详解】（1）证明：四边形是正方形，

，，

，

，

，

；

（2），

，即，

，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

19.某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对，，三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示：

（1）根据三项测试的平均成绩，从高到低确定三名应聘者的排名顺序．

（2）根据实际需要，公司将创新能力、综合知识和语言能力三项测试得分按的比例确定三人的测试成绩，请你说明谁将被录用．

【答案】（1）排名顺序为、、；（2）被录取，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据每个人的三项成绩，计算其平均成绩，然后排名即可；

（2）根据“创新能力、综合知识和语言能力三项测试得分按的比例确定三人的测试成绩”可分别计算三个候选人的总成绩，即可得最高成绩.

【详解】（1）

排名顺序为、、；

（2）

则为录取.

【点睛】本题利用某广告公司欲招聘广告策划人员这一情境，重点考查了加权平均数在现实中的应用.

20.如图，抛物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该抛物线上且位于、两点之间，过点作轴于点，轴于点，与抛物线的另一交点为，连接．

（1）求该抛物线的对称轴及点的坐标．

（2）当点关于的对称点恰好落在轴上时，求点的坐标．

【答案】（1）对称轴：直线，顶点坐标；（2）

【解析】

【分析】

（1）函数的对称轴为：x＝，令y＝−x²＋4x＝0，解得x＝0或4，即可求解；
（2）当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，证明PD＝PB，即可求解．

【详解】（1）∵，

∴对称轴：直线，；

（2）当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，

由对称可知，

轴，

，

设点的横坐标为，则，

，

又，

解得：，（舍）

．

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

21.如图，在的正方形格中，已知的顶点，均在格点上，顶点在小正方形的边上（不在格点），要求仅用一把无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角完成下列作图．

（1）在图甲中作的边上的高线．

（2）在图乙中过点作一直线，使它将的面积分成的两部分．

（说明：图甲和图乙在答卷纸上．）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）如图，取格点F，取AB与网格的交点G，作直线FG交BC于D，线段AD即为所求；

（2）取格点F，连接BF，利用矩形对称中心的特点取BF的中点E，作直线AE，直线AE即为所求．

【详解】解：（1）如图甲中，线段AD即为所求，

；

（2）如图乙中，直线AE即为所求，

．

【点睛】本题考查作图−应用与设计，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.如图，已知在中，，点在边上，以为半径的与边切于点，与，边的另一交点分别为，．

（1）求证：．

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接EF，可求出进一步可以证明.

（2）首先可得OD∥AC，从而得出∠ CAB=∠DOB，再通过三角函数可以求出半径.

详解】（1）证明:如图所示，连接EF

∵AF是的直径

∴∠AEF=90°，

又∵∠C=90°，

∴EF∥DB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴ ，

∴ ，

即.

（2）圆O切BC于点D，

∴，

∴，

∴，

，

，

设的半径为，则，.

【点睛】本题为圆，相似三角形，三角函数的综合运用，熟练的掌握其中的证明思路与添加辅助线的方法即可解答.

23.榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为元．“线下”销售的每箱利润（元）与销售量（箱）之间的函数关系如图中的线段．

（1）求与之间的函数关系．

（2）当“线下”的销售利润为元时，求的值．

（3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用元，若“线上”与“线下”售完这箱榴莲所获得的最大总利润为元，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）设，代入点，即可求解；

（2）根据题意可得“线下”的销售利润为线下的销售利润为，令求解即可；

（3）根据题意得总利润，利用二次函数的性质即可求解．

【详解】（1）设，代入点，得

（2）线下的销售利润为，

当“线下”的销售利润为元时，即

解得：，（舍），

故当“线下”的销售利润为元时，的值为30．

（3）设总利润为，则，

对称轴为，

，

，

当时，，

，（舍），

∵x为正整数，

∴a为正整数，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．

24.如图，在矩形中，，点是边的中点，和的延长线交于点，点是边上的一点，且满足，连接，，且与交于点．

（1）若，求的面积

（2）当是直角三角形时，求所有满足要求的值．

（3）记，，

①求关于的函数关系．

②当时，求的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）①；②

【解析】

【分析】

（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2，先由矩形的性质及已知证得，求出CF=AD=BC=3，再证得得，然后由等高的面积比等于相似比求得的面积；

（2）分两种情况：①，②，利用相似三角形的判定与性质求解即可；

（3）①由和可证得，根据同底的三角形面积比等于相似比即可求解关于的函数关系；

②由已知证得，得到，过O作OH⊥AD于H，由勾股定理得关于a的方程，解之得到AD，即可求得.

【详解】（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2，

矩形中，，

，AD=BC=3，

又，

，

，

∴CF=AD=3，

，

∵,

∴，

，

∵ΔAOG底边OG上的高与ΔAGD底边GD的高相等，

（2）

分两种情形讨论

情形①：如图1，，

∵

∴，又AB=8，

，

易证，

，

，，

易证，

∴

情形②：如图2，，

∵∠AGB+∠BAG=90º，∠AGB+∠DGC=90º，

∴∠BAG=∠DGC，

（3）①∵，

∴,

又

∴AE=EF，

又

，

②，

，即，

过O作OH⊥AD于H，则有

，

，

∴AD=BC=12，

.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识，是一道综合性很强的相似三角形的综合题，解答的关键认真审题，分析有效信息，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算.