湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　）
A．3，4，2 B．12，5，6 C．1，5，9 D．5，2，7
3．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．一个正多边形的每个内角都为120°，则它是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
5．用形状、大小完全相同的下列图形，不能拼成既无缝隙又不重叠的图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
6．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
7．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圆形容器的壁厚是（　　）

A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米
8．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8
9．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　．
12．如图，点D在△ABC的BC边延长线上，∠A＝55°，∠B＝60°，则∠ACD的大小是 　 　．

13．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 　 　．

14．如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过点B2，B3，则图中α的大小是 　 　．

15．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：
①线段AE与AF的长度之和为定值；
②∠BEO与∠OFC的大小之和为定值；
③四边形AEOF的面积为定值．
其中正确的序号是 　 　．

16．若n个等腰三角形的顶角α1、α2、…、αn两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则α1+α2+…+αn＝　 　．
三、解答题：（共8小题，共72分）
17．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+20°，求△ABC各个内角的度数．
18．如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

20．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，A，B，C，D，E都在小正方形的顶点处，请用无刻度直尺按要求完成作图（保留连线的痕迹）．
（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF（其中点E的对应点为点F），画出△ABF；
（2）连接EF，画线段EF的中点M；
（3）在线段BC上画点G，使得GE＝GF．

21．如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．
（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围 　 　．


22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 　 　；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．


23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．

24．等边△ABC在平面直角坐标系中如图1所示，点B，C在x轴上，点A在y轴正半轴上．
（1）如图1，若P为AB的中点，连接PC交y轴于点D，问线段AD与PD有何数量关系，并说明理由；
（2）将图1中的△ADC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°），点A的对应点为点E，P为EB的中点．
①若将△ADC旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
②若点C坐标为（2，0），请求出在将△ADC旋转过程中，DP取最小值时点E的坐标．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　）
A．3，4，2 B．12，5，6 C．1，5，9 D．5，2，7
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解：A、2+3＞4，能构成三角形；
B、5+6＜12，不能构成三角形；
C、1+5＜9，不能构成三角形；
D、5+2＝7，不能构成三角形．
故选：A．
3．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：具有稳定性的图形是三角形．
故选：A．
4．一个正多边形的每个内角都为120°，则它是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【分析】利用多边形内角和公式，根据性质列出方程即可．
解：设此多边形边数为x，根据题意，得
（x﹣2）×180＝120•x，
解得x＝6，
所以此图形是正六边形．
故选：C．
5．用形状、大小完全相同的下列图形，不能拼成既无缝隙又不重叠的图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．
解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密铺；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．
故选：C．
6．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
解：A、不满足三边关系，本选项不符合题意．
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
C、两角夹边三角形唯一确定．本选项符合题意．
D、一边一角无法确定三角形．本选项不符合题意，
故选：C．
7．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圆形容器的壁厚是（　　）

A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米
【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝7厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是×（7﹣5）＝1（厘米），
故选：A．
8．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP＝∠AOB＝30°，则PE＝PC＝2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．
解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
在Rt△EPC中，PE＝PC＝×4＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PE＝2．
故选：B．

9．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH＝180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD＝180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，可判断③和④，即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴BF⊥AC，故①正确，
∵△ABC和△EFD是等边三角形，
∴∠A＝∠EDF＝60°＝∠EFD，EF＝FD，
∴∠FDH＝120°，
∴∠A+∠FDH＝180°，
∴∠AHD+∠AFD＝180°，故②正确；
如图，连接FG，

∵F、G分别为AC和BC的中点，
∴CG＝AC＝CF＝BC，
又∵∠FCG＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG＝CG，∠FCG＝60°＝∠FGC，
∴∠FGD＝120°，
∵∠CFG＝∠EFD＝60°，
∴∠CFE＝∠GFD，
在△CFE和△GFD中，
，
∴△CFE≌△GFD（SAS），
∴CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，
∴CD＝CG+GD＝CF+CE，∠BCE＝60°，故③④正确，
故选：D．
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；
解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣2.3）　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
解：点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
12．如图，点D在△ABC的BC边延长线上，∠A＝55°，∠B＝60°，则∠ACD的大小是 　115°　．

【分析】直接利用三角形外角的性质解答即可；
解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝55°，∠B＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝55°+60°＝115°，
故答案为：115°．
13．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 　a+b＝0　．

【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．
解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|＝|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b＝﹣a，即a+b＝0，
故答案为：a+b＝0．
14．如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过点B2，B3，则图中α的大小是 　48°　．

【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，则∠B4B3D＝72°，由平行线的性质得出∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，再由四边形内角和即可得出答案．
解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4＝＝108°，
∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，
∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，
故答案为：48°．

15．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：
①线段AE与AF的长度之和为定值；
②∠BEO与∠OFC的大小之和为定值；
③四边形AEOF的面积为定值．
其中正确的序号是 　①、②、③　．

【分析】连接AO，利用ASA证明△EOA≌△FOC，得EA＝FC，可对①②③进行判断．
解：如图，连接AO，

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°，
∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，
∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，
∴∠EOA＝∠FOC，
在△EOA与△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA＝FC，
∴AE+AF＝AF+FC＝AC，
故①正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，
∴∠BEO+∠OFC＝180°，
故②正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA＝S△FOC，
∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF
＝，
故③正确，
故答案为：①、②、③．
16．若n个等腰三角形的顶角α1、α2、…、αn两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则α1+α2+…+αn＝　　．
【分析】根据题意，符合条件的等腰三角形只有4个：顶角分别是36°，90°，108°，．
解：（1）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠B，
∴∠CAB＝3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠BAC＝108°．
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°．
（3）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD＝BC，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C
∵∠BDC＝2∠A，
∴∠C＝2∠A＝∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
（4）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC，求∠BAC的度数．
假设∠A＝x，AD＝BD，
∴∠DBA＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝，
∵CD＝BC，
∴∠BDC＝2x＝∠DBC＝﹣x，
解得：x＝．
∴∠A＝．
∴α1+α2+…+αn＝108°+90°+36°+＝．
故答案为：．




三、解答题：（共8小题，共72分）
17．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+20°，求△ABC各个内角的度数．
【分析】根据三角形内角和定理解决此题．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+∠A+20°＝180°．
∴4∠A＝160°．
∴∠A＝40°．
∴∠B＝2∠A＝80°，∠C＝∠A+20°＝60°．
18．如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．

【分析】先证明AB＝DE，再根据“SSS”证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：∵AE＝BD，
∴AE+BE＝DB+BE，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°

20．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，A，B，C，D，E都在小正方形的顶点处，请用无刻度直尺按要求完成作图（保留连线的痕迹）．
（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF（其中点E的对应点为点F），画出△ABF；
（2）连接EF，画线段EF的中点M；
（3）在线段BC上画点G，使得GE＝GF．

【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF；
（2）取格点Q，连接CQ与EF交于点M即可；
（3）取格点H，连接AH交BC于点G即可．
【解答】
21．如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．
（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围 　7＜L＜10　．


【分析】（1）由翻折变换的性质可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的周长公式计算即可；
（2）由翻折变换的性质可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的三边关系求出2＜AE＜5，即可求解．
解：（1）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边上的点E处，
∴DE＝DC，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝5+2＝7；
（2）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边下方的点E处，
∴DE＝DC，BE＝BC＝6，
在△ADE中，AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，AE＜AD+DE，
即AE＜5．
在△ABE中，AE＞AB﹣BE，
即AE＞2．
∴2＜AE＜5，
∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，
即2+5＜L＜5+5，
即7＜L＜10，
故答案为：7＜L＜10．
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 　20°　；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．


【分析】（1）①根据遥望角的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
②根据遥望角的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）由∠ABC＝∠ADC＝90°，可得A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，根据圆内接四边形的性质得到∠DFC+∠DBC＝180°，由∠DFC+∠DFE＝180°，得到∠DFE＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠AFD，进而得到∠AFD＝∠DFE，根据遥望角的定义以及三角形的外角性质、圆周角定理证明∠DAF＝∠E，再利用AAS证明△DAF≌△DEF，即可得出结论．
【解答】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°；
②∠E＝α，理由如下：
∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；

（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠DFC+∠DBC＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E+∠DCE＝∠BAC，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，
∴∠E＝∠DAF，
∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），
∴DA＝DE．
23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．

【分析】（1）如图1，先根据三角形内角和得：∠ABC＝70°，由角平分线及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，可得结论；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝AD+CD＝BD+AD；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，可得结论；
（3）正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明：AF＝AC＝EF，由线段的和与差可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：

如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．


24．等边△ABC在平面直角坐标系中如图1所示，点B，C在x轴上，点A在y轴正半轴上．
（1）如图1，若P为AB的中点，连接PC交y轴于点D，问线段AD与PD有何数量关系，并说明理由；
（2）将图1中的△ADC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°），点A的对应点为点E，P为EB的中点．
①若将△ADC旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
②若点C坐标为（2，0），请求出在将△ADC旋转过程中，DP取最小值时点E的坐标．


【分析】（1）结论：AD＝2PD．证明∠PAD＝30°，可得结论；
（2）①结论成立．如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT＝PD，连接BT，AT，设DR交AC于点W．证明△ADT是等边三角形，可得结论．
②因为△APD是含有30°的直角三角形，所以当PA的值最小时，PD的值最小，由PA≥OA﹣OP≥2﹣2，推出当点P落在线段OA上时，PA的值最小，延长可得结论．
解：（1）结论：AD＝2PD．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠CAB＝×60°＝30°，
∵AP＝PB，
∴CP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴AD＝2PD；

（2）①结论成立．
理由：如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT＝PD，连接BT，AT，设DR交AC于点W．
在△EPD和△BPT中，
，
∴△EPD≌△BPT（SAS），
∴∠DEP＝∠TBP，BT＝DE，
∵DE＝CD，
∴BT＝CD，
∴∠ARD＝∠ABT，
∵∠CDE＝120°，
∴∠CDR＝60°，
∵∠RAW＝60°，
∴∠RAW＝∠CDW＝60°，
∵∠AWR＝∠CWD，
∴∠ARW＝∠ACD，
∴∠ABT＝∠ACD，
在△TBA和△DCA中，
，
∴△TBA≌△DCA（SAS），
∴AT＝AD，∠BAT＝∠CAD，
∴∠TAD＝∠BAC＝60°，
∴△ADT是等边三角形，
∵PD＝PT，
∴AP⊥DT，∠PAD＝∠DAT＝30°，
∴AD＝2PD；

②如图2中，连接OP，
∵C（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴CE＝AC＝BC＝4，OA＝2，
∵BP＝PE，OB＝OC，
∴OP＝EC＝2，
∵△APD是含有30°的直角三角形，
∴当PA的值最小时，PD的值最小，
∵PA≥OA﹣OP≥2﹣2，
∴当点P落在线段OA上时，PA的值最小，此时E（2，4）．