福建省三明市大田县2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

这是一份福建省三明市大田县2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（Word版含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省三明市大田县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.
1．下列各数中为无理数的是（　　）
A．0 B．0.2 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列各点中，在函数y＝﹣3x+3图象上的是（　　）
A．（﹣2，9） B．（2，9） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
4．在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
5．下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝
C．（﹣1）2＝3﹣1 D．＝5﹣3
6．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
7．对于一次函数y＝﹣x+b（b为常数），下列说法中正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．其图象一定过第一、三象限
C．当b＝2时，其图象与坐标轴围成的图形的面积为2
D．其图象与直线y＝3﹣x的交点在第四象限
8．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　）
A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3）
9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，CD＝2，BC＝3，AB＝5，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．4+12 C．2+6 D．2+10
10．已知两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．−6＜k＜0 B．﹣3＜k＜0 C．k＜−3 D．k＜−6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．小明从家出发向正东方向走了240m，接着向正北方向走了320m，此时小明离家 　 　m．
12．一次函数y＝（k2+1）x﹣3中，y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）．
13．估计与最接近的整数是　 　．
14．边长为6的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点B的坐标为 　 　．

15．已知a满足|8﹣a|+＝a，则a的值是 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为　 　

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：（）×；
（2）计算：（+1）（﹣1）﹣．
18．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止生长？
（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长到多少厘米？

19．一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3）．
（1）求k的值；
（2）求图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．
20．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．

21．已知二次根式．
（1）如果该二次根式＝3，求a的值．
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求a的值，并求出这两个次根式的积．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（横、纵坐标都为整数的点）上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直线l过点D（1，0），且平行于y轴，作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3，直接写出点C3的坐标．

23．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）请利用一次函数的知识说明：该商店购进A型多少台才能使销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能否为12800元？若能，求出购进A型的数量，若不能，请说明理由．
24．观察下列各式及其验证过程
①，验证：；
②，验证：．
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．
25．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6），E是线段AB上的一动点．
（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．
（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．
（3）连接OD，求线段OD的最小值．



参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.
1．下列各数中为无理数的是（　　）
A．0 B．0.2 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．
解：0，0.2，是有理数，是无理数．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求点P的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
解：∵点P（﹣1，2）的横坐标﹣1＜0，纵坐标2＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B．
3．下列各点中，在函数y＝﹣3x+3图象上的是（　　）
A．（﹣2，9） B．（2，9） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解．
解：将x＝﹣2代入y＝﹣3x+3可得y＝9＝9，所以（﹣2，9）在函数y＝﹣3x+3的图象上，故A选项符合题意；
将x＝2代入y＝﹣3x+3可得y＝﹣3≠9，所以（2，9）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故B选项不符合题意；
将x＝0代入y＝﹣3x+3可得y＝3≠﹣3，所以（0，﹣3）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故C选项不符合题意；
将x＝﹣3代入y＝﹣3x+3可得y＝12≠0，所以（﹣3，0）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝
C．（﹣1）2＝3﹣1 D．＝5﹣3
【分析】A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解．
解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、×＝，故选项正确；
C、是完全平方公式，应等于4﹣2，故选项错误；
D、应该等于，故选项错误；
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故选：C．
7．对于一次函数y＝﹣x+b（b为常数），下列说法中正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．其图象一定过第一、三象限
C．当b＝2时，其图象与坐标轴围成的图形的面积为2
D．其图象与直线y＝3﹣x的交点在第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝﹣x+b（b为常数），k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
其图象一定过第二、四象限，故选项B错误，不符合题意；
当b＝2时，y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，故其图象与坐标轴围成的图形的面积为：×2×2＝2，故选项C正确，符合题意；
当b≠﹣3时，其图象与直线y＝3﹣x的图象互相平行，没有交点；当b＝﹣3时，其图象与直线y＝3﹣x的图象完全重合，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
8．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　）
A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3）
【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案．
解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，
∴x＝7时，y＝kx+b＝3，
∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）．
故选：D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，CD＝2，BC＝3，AB＝5，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．4+12 C．2+6 D．2+10
【分析】连接AC，依据勾股定理即可得到AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠ACB＝90°，最后根据四边形ABCD的面积等于△ACD和△ABC的面积之和进行计算即可．
解：如图所示，连接AC，
∵∠D＝90°，AD＝2，CD＝2，
∴AC＝＝＝4，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝AD•CD+AC•CB＝+×4×3＝2+6．
故选：C．

10．已知两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．−6＜k＜0 B．﹣3＜k＜0 C．k＜−3 D．k＜−6
【分析】由题意求出y＝3x﹣6与x，y轴的交点坐标，代入y＝kx+k即可．
解：y＝3x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，
当y＝0时，x＝2，
两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限，
则﹣6＝0×k+k，解得k＝﹣6，
0＝2k+k，解得k＝0，
∴−6＜k＜0，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．小明从家出发向正东方向走了240m，接着向正北方向走了320m，此时小明离家 　400　m．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出答案．
解：如图所示：由题意可得，AO＝240m，BO＝320m，
故在Rt△OAB中，
AB＝＝＝400（m），
故此时小明离家400m．
故答案为：400．

12．一次函数y＝（k2+1）x﹣3中，y随x的增大而 　增大　（填“增大”或“减小”）．
【分析】根据题目中的函数解析式和k2+1＞0，可以得到y随x的增大如何变化．
解：一次函数y＝（k2+1）x﹣3，k2+1＞0，
∴该函数图象中，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
13．估计与最接近的整数是　5　．
【分析】估算的近似值，进而得出答案．
解：因为52＝25，5.52＝30.25，而25＜30＜30.25，
所以5＜＜5.5，
所以最接近的整数是5，
故答案为：5．
14．边长为6的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点B的坐标为 　（3，3）　．

【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形三线合一定理即可求出BD与OD的长度，根据坐标特征可得点B的坐标．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，

由等边三角形的三线合一定理可知：
OD＝OA＝3，
由勾股定理可知：BD＝＝3，
∴A（3，3）．
故答案为：（3，3）．
15．已知a满足|8﹣a|+＝a，则a的值是 　73　．
【分析】根据绝对值和算术平方根可知a≥9，从而计算得a的值．
解：∵|8﹣a|+＝a，
∴a﹣9≥0，a≥0，
∴a≥9，
∴a﹣8+＝a，
∴＝8，
∴a﹣9＝64，
∴a＝73．
故答案为：73．
16．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为　84　

【分析】过点A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，
故答案为：84．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：（）×；
（2）计算：（+1）（﹣1）﹣．
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及立方根的性质化简，进而得出答案．
解：（1）原式＝（2﹣）×3
＝×3
＝15；

（2）原式＝5﹣1+2
＝6．
18．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止生长？
（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长到多少厘米？

【分析】（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x＝50代入进行计算即可得解．
解：（1）∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
答：该植物从观察时起，50天以后停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴，
解得．
所以，直线AC的解析式为y＝x+6，
当x＝50时，y＝×50+6＝16cm．
答：直线AC的解析式为y＝x+6，该植物最高长16cm．
19．一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3）．
（1）求k的值；
（2）求图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3），即可求得k的值；
（2）根据（1）中k的值，可以写出该函数的解析式，然后即可得到y随x的增大如何变化，然后将y＝0代入函数解析式即可得到相应的x值，然后即可写出图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．
解：（1）∵一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3），
∴﹣3＝4k+3，
解得k＝﹣1.5；
（2）由（1）知：k＝﹣1.5，
∴y＝﹣1.5x+3，
∴该函数图象y随x的增大而减小，
∵当y＝0时，0＝﹣1.5x+3，解得x＝2，
∴当y＜0时，x的取值范围是x＞2，
由上可得，图象与x轴的交点坐标是（2，0），当y＜0时，x的取值范围是x＞2．
20．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．

【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
解：（1）AB＝＝，AC＝8，BC＝＝3，
∴△ABC的周长＝+8+3；
（2）△ABC为直角三角形，
理由：∵小方格边长为1，
∴AB2＝22+32＝13，AC2＝12+82＝65，BC2＝62+42＝62，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
21．已知二次根式．
（1）如果该二次根式＝3，求a的值．
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求a的值，并求出这两个次根式的积．
【分析】（1）根据二次根式的定义列方程求出解；
（2）先化简，根据同类二次根式定义列方程求a，再把两个二次根式相乘得出结果．
解：（1）∵＝3，
∴a+2＝9，
∴a＝7；
（2）∵＝，为最简二次根式与能够合并，
∴a+2＝10，
∴a＝8，
∴×＝5，
∴这两个次根式的积为5．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（横、纵坐标都为整数的点）上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直线l过点D（1，0），且平行于y轴，作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3，直接写出点C3的坐标．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据轴对称变换的性质解决问题即可．
解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；
（2）如图，△A2B2C2；即为所求；
（3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3，
∵C（﹣3，2），
∴C3（2，﹣3）．

23．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）请利用一次函数的知识说明：该商店购进A型多少台才能使销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能否为12800元？若能，求出购进A型的数量，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．可以求得x的取值范围，再根据（1）中的结果，一次函数的性质，即可解答本题；
（3）根据一次函数的性质和x的取值范围，可以解答本题．
解：（1）由题意可得，
y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
即y与x的函数关系是y＝﹣20x+14000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得，x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13500，100﹣x＝75，
答：该商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大，最大利润是13500元；
（3）由（2）知，x≥25，
∵该商店购进B型电脑数量不少于50台，
∴100﹣x≥50，
∴x≤50，
∴25≤x≤50，
∵y＝﹣20x+14000，限定该商店最多购进A型电脑50台，
∴当x＝50时，y取得最小值，此时y＝﹣20×50+14000＝13000，
∵13000＞12800，
∴限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能为12800元．
∵12800＝﹣20x+14000，
∴x＝60，
则购进A型的数量为60台．
24．观察下列各式及其验证过程
①，验证：；
②，验证：．
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．
【分析】（1）仿照所给的例子进行求解即可；
（2）对所给的例子进行分析，并总结出规律即可；
（3）仿照所给的例子进行求解，不难得出结果．
解：（1），
验证：；
（2）∵5＝22+1，10＝32+1，26＝52+1，
∴，
证明：；
（3），
∵8＝32﹣1，
∴．
25．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6），E是线段AB上的一动点．
（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．
（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．
（3）连接OD，求线段OD的最小值．

【分析】（1）利用矩形的性质判断出点D的纵坐标为8，构建方程求出a即可；
（2）分两种情形：如图，当点D在CE下方时，过点D作PQ⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点Q、P．证明△PDE≌△QCD（AAS），推出PD＝QC，构建方程求出a即可．当点Q在线段CE上方时，同法可求；
（3）求出点D的运动轨迹，利用垂线段最短，解决问题．
解：（1）∵B（10，8），点D（a﹣1，2a﹣6）在BC边上，
∴2a﹣6＝8，
∴a＝7，
∴D（6，8）；

（2）如图，当点D在CE下方时，

过点D作PQ⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点Q、P．
∵∠DPE＝∠CQD＝∠CDE＝90°，
∴∠CDQ+∠PDE＝90°，∠CDQ+∠QCD＝90°，
∴∠PDE＝∠QCD，
在△PDE和△QCD中，
，
∴△PDE≌△QCD（AAS），
∴PD＝QC，即10﹣（a﹣1）＝8﹣（2a﹣6），
解得a＝3；
当点Q在线段CE上方时，
过点D′作P′Q′⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点Q′、P′，
同法可证，P′D′＝CQ′＝QF，即10﹣（a﹣1）＝2a﹣6﹣8，
解得a＝；
综上可知，C、D、E可以构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为3或；

（3）∵动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6），
∴点D在直线y＝2x﹣4上运动，
∴直线y＝2x﹣4交x轴于M（2，0），交y轴于点N（0，﹣4），如图，

当OD⊥MN时，OD的值最小，
∵OM＝2，ON＝4，
∴MN＝＝＝2，
∵S△OMN＝•OM•ON＝•MN•OD，
∴OD＝＝，
∴OD的最小值为．