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江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（Word版含答案）
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这是一份江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（Word版含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．16的平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．4 D．±4
2．下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
6．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．48
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（ ）
A．6 B． C． D．4
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（6分）化简＝ ，＝ ．
12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝ °．
13．如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为 °．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝ ．
15．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ ，PC+PQ的最小值是 ．
18．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）求下列各式的x的值
（1）4x2﹣121＝0；
（2）（x﹣5）3+8＝0
20．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为 ；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 个．
21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求AC，BC的长．
（2）判断△ABC的形状并加以说明．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．
（1）点F到△ABC的边 和 的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为 ．
28．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
【参考答案】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．16的平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．4 D．±4
【分析】根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：D．
【点评】此题考查的是平方根的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
2．下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：①12+22＝5≠22，故不是直角三角形，故A错误；
②122+52＝132，故是直角三角形，故B正确；
③62+72＝85≠82，故不是直角三角形，故C错误；
④42+32＝52，故是直角三角形，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
【分析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
在△ABC和△ADC中
∵AB＝AD，AC＝AC，
∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；
当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；
当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；
当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
6．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．48
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（ ）
A．6 B． C． D．4
【分析】由勾股定理先求出Rt△ADB的直角边AD的长，然后再根据勾股定理求Rt△ADC的斜边AC的长即可．
【解答】解：如图，
∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，
∴AD＝＝＝
在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1，
∴AC＝＝＝
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解勾股定理．
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【分析】由折叠的性质可求解．
【解答】解：∵∠B'CB＝∠ACB+∠ACB'
∴∠B'CB＝160°
∵折叠
∴∠B'CD＝∠BCD＝∠B'CB＝80°
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝10°
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF＝ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME＝NC＝2，从而知BF最小值是2．
【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值．
二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（6分）化简＝ 2 ，＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：＝2，＝3．
故答案为：2，3．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝ 70 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝70°，
故答案是：70．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为 65 °．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝ 5 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
则AB＝2CD＝10，
∴CD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长是解题的关键．
15．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝ 2 ．
【分析】先根据AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，证明∠ACO＝∠ODB＝90°，再由∠AOB＝90°及同角的余角相等推出∠A＝∠BOD，再根据全等三角形的判定定理证明△ACO≌△ODB，得AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，即可求出CD的长．
【解答】解：如图，∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，其中根据同角的余角相等导出∠A＝∠BOD是关键的一步．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，
∴MN＝＝．
【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ 5 ，PC+PQ的最小值是 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB＝90°即可得出EQ∥BC，进而可得出比例，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC＝5．
∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴EQ∥BC，
∴＝，即＝，
∴EQ＝，
故答案为：5，．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点P、Q的位置是解题的关键．
18．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝ ﹣1 ．
【分析】如图，连接AG．设∠DCB＝x．首先证明∠ADB＝45°，再证明AG＝GD，设BD＝m，利用勾股定理构建方程求出m即可．
【解答】解：如图，连接AG．设∠DCB＝x．
设∠DCB＝x．
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，
∵CG⊥AD，CA＝CD，
∴DF＝AF，
∴GA＝BG，
∴∠GAD＝∠GDA＝45°，
∴∠AGB＝90°，
设BD＝m，则AG＝DG＝m+1，
∵AB＝＝＝3，
∴（3）2＝12+（m+1）2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是推出∠ADG＝45°，证明△ADG是等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）求下列各式的x的值
（1）4x2﹣121＝0；
（2）（x﹣5）3+8＝0
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：（1）4x2﹣121＝0，
4x2＝121，
，
；
（2）（x﹣5）3+8＝0，
（x﹣5）3＝﹣8，
，
x＝3．
【点评】本题主要考查了平方根与立方根的定义，注意：正数有两个互为相反数的平方根．
20．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为 3 ；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 4 个．
【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）根据轴对称的性质画出即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×4×1﹣×1×2﹣×2×2＝3；
故答案为3；
（3）如图，顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个；
故答案为4．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证明∠DBC＝∠ECB即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此利用AAS进行判定即可．
【解答】证明：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC＝69°，
∵DE垂直平分AC，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AC＝2AE＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵△DCB的周长＝CD+BD+BC
＝AD+BD+BC
＝AB+BC＝16，
BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求AC，BC的长．
（2）判断△ABC的形状并加以说明．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：（1）∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝16，CD＝12，
由勾股定理可得：AC＝＝20，
△CDB中，∠CDB＝90°，BD＝9，CD＝12，
由勾股定理可得：CB＝＝15；
（2）△ABC是直角三角形．
∵AD＝16，BD＝9，
∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，
∵AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝400+225＝625，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．
（1）点F到△ABC的边 AB 和 AC 的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
故答案为：AB和AC（或AC和AB）；
（2）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∵EG垂直平分BC，
∴AF＝CF，
∴AF＝CF＝BF＝3，
∵AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，
同理可得：∠BFD＝2∠BAD，
∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，
在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝3．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
【分析】（1）连接AE，根据全等三角形的判定定理判定△BCD≌△ACE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）连接AE，EQ，分两种情况，设BD＝AE＝x，利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：（1）AP＝DE，理由：
连接AE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P为DE中点，
∴AP＝DE．
（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∵DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝．
情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
综上：BD＝或．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．
27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为 2 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADE，求得∠E＝∠BDC，根据余角的性质得到∠DBC＝∠ABE，由角平分线的定义即可得到结论；
（2）①如图2，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到CD＝DH，根据余角的性质得到∠AEF＝∠DAH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理得到AC＝8，根据全等三角形的性质得到BH＝BC＝6，EF＝AE＝4，设AF＝CD＝x，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵EA⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DH，
∵EA⊥AB，EF⊥AC，
∴∠EAF＝∠AFE＝∠AHD＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，
∴∠AEF＝∠DAH，
在△ADH与△EAF中，
，
∴△ADH≌△EAF（AAS），
∴AF＝DH，
∴AF＝CD；
②解：∵BC＝6，AB＝10，
∴AC＝8，
∵CD＝DE，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BC＝6，
∴AH＝4，
∵△ADH≌△EAF，
∴EF＝AE＝4，
设AF＝CD＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，
∵AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AF＝CD＝3，
∴DF＝2，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由l∥BC及CD平分∠BCP，推出∠PCD＝∠PDC即可得证结论；
（2）分①BP＝BC＝4，②PC＝BC＝4，③PC＝PB＝4，三种情况讨论求出t值即可；
（3）分①∠PAE＝90°，②∠APE＝90°，③∠AEP＝90°三种情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）∵l∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵CD平分∠BCP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴PC＝PD；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝＝3，
若△PBC是等腰三角形，存在以下三种情况：
①当BP＝BC＝4时，作PH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴四边形ACHP是矩形，
∴PH＝AC＝3，
由勾股定理BH＝＝＝，
∴CH＝4﹣，
∴AP＝CH＝4﹣，
即2t＝4﹣，
解得t＝，
②当PC＝BC＝4时，
由勾股定理AP＝＝＝，
即2t＝，
解得t＝，
③当PC＝PB＝4时，P在BC的垂直平分线上，
∴CH＝BC＝2，
∴AP＝CH＝2，
即2t＝2，
解得t＝1，
综上：t＝1或或；
（3）∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PD＝PE，
由（1）知，PD＝PC，
∴PC＝PE，
要使△PAE是直角三角形，则存在以下三种情况：
①∠PAE＝90°，
此时点C、A、E在一条直线上，且AE＝AC＝3，
∵PE＝PD，
∴PE平分∠ECD，
又∵CD平分∠BCP，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴AP＝AC•tan30°＝3×＝，
即2t＝，
解得t＝，
②∠APE＝90°，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴四边形ACBP是矩形，
∴AP＝BC，
又∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PC平分∠EPD，
即∠APC＝∠EPC＝45°，
即AP＝AC，
∵AC≠BC，
∴此种情况不存在；
③∠AEP＝90°，
在Rt△ACP中，PC＞AP，
在Rt△AEP中，AP＞PE，
∵PC＝PE＝PD，
故此情况不存在，
综上，△PAE是直角三角形时t＝．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．16的平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．4 D．±4
2．下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
6．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．48
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（ ）
A．6 B． C． D．4
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（6分）化简＝ ，＝ ．
12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝ °．
13．如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为 °．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝ ．
15．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ ，PC+PQ的最小值是 ．
18．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）求下列各式的x的值
（1）4x2﹣121＝0；
（2）（x﹣5）3+8＝0
20．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为 ；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 个．
21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求AC，BC的长．
（2）判断△ABC的形状并加以说明．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．
（1）点F到△ABC的边 和 的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为 ．
28．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
江苏省无锡市江阴市直属学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
【参考答案】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．16的平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．4 D．±4
【分析】根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：D．
【点评】此题考查的是平方根的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
2．下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：①12+22＝5≠22，故不是直角三角形，故A错误；
②122+52＝132，故是直角三角形，故B正确；
③62+72＝85≠82，故不是直角三角形，故C错误；
④42+32＝52，故是直角三角形，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
【分析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
在△ABC和△ADC中
∵AB＝AD，AC＝AC，
∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；
当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；
当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；
当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
6．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．48
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（ ）
A．6 B． C． D．4
【分析】由勾股定理先求出Rt△ADB的直角边AD的长，然后再根据勾股定理求Rt△ADC的斜边AC的长即可．
【解答】解：如图，
∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，
∴AD＝＝＝
在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1，
∴AC＝＝＝
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解勾股定理．
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【分析】由折叠的性质可求解．
【解答】解：∵∠B'CB＝∠ACB+∠ACB'
∴∠B'CB＝160°
∵折叠
∴∠B'CD＝∠BCD＝∠B'CB＝80°
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝10°
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF＝ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME＝NC＝2，从而知BF最小值是2．
【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值．
二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（6分）化简＝ 2 ，＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：＝2，＝3．
故答案为：2，3．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝ 70 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝70°，
故答案是：70．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为 65 °．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝ 5 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
则AB＝2CD＝10，
∴CD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长是解题的关键．
15．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝ 2 ．
【分析】先根据AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，证明∠ACO＝∠ODB＝90°，再由∠AOB＝90°及同角的余角相等推出∠A＝∠BOD，再根据全等三角形的判定定理证明△ACO≌△ODB，得AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，即可求出CD的长．
【解答】解：如图，∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，其中根据同角的余角相等导出∠A＝∠BOD是关键的一步．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，
∴MN＝＝．
【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ 5 ，PC+PQ的最小值是 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB＝90°即可得出EQ∥BC，进而可得出比例，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC＝5．
∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴EQ∥BC，
∴＝，即＝，
∴EQ＝，
故答案为：5，．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点P、Q的位置是解题的关键．
18．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝ ﹣1 ．
【分析】如图，连接AG．设∠DCB＝x．首先证明∠ADB＝45°，再证明AG＝GD，设BD＝m，利用勾股定理构建方程求出m即可．
【解答】解：如图，连接AG．设∠DCB＝x．
设∠DCB＝x．
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，
∵CG⊥AD，CA＝CD，
∴DF＝AF，
∴GA＝BG，
∴∠GAD＝∠GDA＝45°，
∴∠AGB＝90°，
设BD＝m，则AG＝DG＝m+1，
∵AB＝＝＝3，
∴（3）2＝12+（m+1）2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是推出∠ADG＝45°，证明△ADG是等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）求下列各式的x的值
（1）4x2﹣121＝0；
（2）（x﹣5）3+8＝0
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：（1）4x2﹣121＝0，
4x2＝121，
，
；
（2）（x﹣5）3+8＝0，
（x﹣5）3＝﹣8，
，
x＝3．
【点评】本题主要考查了平方根与立方根的定义，注意：正数有两个互为相反数的平方根．
20．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为 3 ；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 4 个．
【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）根据轴对称的性质画出即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×4×1﹣×1×2﹣×2×2＝3；
故答案为3；
（3）如图，顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个；
故答案为4．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证明∠DBC＝∠ECB即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此利用AAS进行判定即可．
【解答】证明：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC＝69°，
∵DE垂直平分AC，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AC＝2AE＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵△DCB的周长＝CD+BD+BC
＝AD+BD+BC
＝AB+BC＝16，
BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求AC，BC的长．
（2）判断△ABC的形状并加以说明．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：（1）∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝16，CD＝12，
由勾股定理可得：AC＝＝20，
△CDB中，∠CDB＝90°，BD＝9，CD＝12，
由勾股定理可得：CB＝＝15；
（2）△ABC是直角三角形．
∵AD＝16，BD＝9，
∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，
∵AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝400+225＝625，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．
（1）点F到△ABC的边 AB 和 AC 的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
故答案为：AB和AC（或AC和AB）；
（2）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∵EG垂直平分BC，
∴AF＝CF，
∴AF＝CF＝BF＝3，
∵AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，
同理可得：∠BFD＝2∠BAD，
∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，
在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝3．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
【分析】（1）连接AE，根据全等三角形的判定定理判定△BCD≌△ACE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）连接AE，EQ，分两种情况，设BD＝AE＝x，利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：（1）AP＝DE，理由：
连接AE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P为DE中点，
∴AP＝DE．
（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∵DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝．
情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
综上：BD＝或．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．
27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为 2 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADE，求得∠E＝∠BDC，根据余角的性质得到∠DBC＝∠ABE，由角平分线的定义即可得到结论；
（2）①如图2，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到CD＝DH，根据余角的性质得到∠AEF＝∠DAH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理得到AC＝8，根据全等三角形的性质得到BH＝BC＝6，EF＝AE＝4，设AF＝CD＝x，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵EA⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DH，
∵EA⊥AB，EF⊥AC，
∴∠EAF＝∠AFE＝∠AHD＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，
∴∠AEF＝∠DAH，
在△ADH与△EAF中，
，
∴△ADH≌△EAF（AAS），
∴AF＝DH，
∴AF＝CD；
②解：∵BC＝6，AB＝10，
∴AC＝8，
∵CD＝DE，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BC＝6，
∴AH＝4，
∵△ADH≌△EAF，
∴EF＝AE＝4，
设AF＝CD＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，
∵AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AF＝CD＝3，
∴DF＝2，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由l∥BC及CD平分∠BCP，推出∠PCD＝∠PDC即可得证结论；
（2）分①BP＝BC＝4，②PC＝BC＝4，③PC＝PB＝4，三种情况讨论求出t值即可；
（3）分①∠PAE＝90°，②∠APE＝90°，③∠AEP＝90°三种情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）∵l∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵CD平分∠BCP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴PC＝PD；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝＝3，
若△PBC是等腰三角形，存在以下三种情况：
①当BP＝BC＝4时，作PH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴四边形ACHP是矩形，
∴PH＝AC＝3，
由勾股定理BH＝＝＝，
∴CH＝4﹣，
∴AP＝CH＝4﹣，
即2t＝4﹣，
解得t＝，
②当PC＝BC＝4时，
由勾股定理AP＝＝＝，
即2t＝，
解得t＝，
③当PC＝PB＝4时，P在BC的垂直平分线上，
∴CH＝BC＝2，
∴AP＝CH＝2，
即2t＝2，
解得t＝1，
综上：t＝1或或；
（3）∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PD＝PE，
由（1）知，PD＝PC，
∴PC＝PE，
要使△PAE是直角三角形，则存在以下三种情况：
①∠PAE＝90°，
此时点C、A、E在一条直线上，且AE＝AC＝3，
∵PE＝PD，
∴PE平分∠ECD，
又∵CD平分∠BCP，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴AP＝AC•tan30°＝3×＝，
即2t＝，
解得t＝，
②∠APE＝90°，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴四边形ACBP是矩形，
∴AP＝BC，
又∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PC平分∠EPD，
即∠APC＝∠EPC＝45°，
即AP＝AC，
∵AC≠BC，
∴此种情况不存在；
③∠AEP＝90°，
在Rt△ACP中，PC＞AP，
在Rt△AEP中，AP＞PE，
∵PC＝PE＝PD，
故此情况不存在，
综上，△PAE是直角三角形时t＝．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
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