高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积学案

如何求空间几何体的面积与体积

在学习几何体时，有很多关于几何体的面积和体积的计算，有的几何体是规则的（如：棱椎、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台），可以直接利用其面积或体积公式求之，有的几何体是不规则的，需要通过割、补等手段化不规则为规则的几何体来求．解题的关键是区分好几何体的类型，正确运用公式计算空间几何体的面积或体积.下面举例解析.

例1.已知棱长均为5的各侧面均为正三角形的四梭锥S-ABCD，如图，求它的侧面积、表面积．

解: ∵如图四棱台S-ABCD的各校长均为5．

∴各侧面都是全等的正三角形

设E为AB中点，则SE⊥AB.

点评: 求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积，求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求面积的条件，求底面积要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件．

例2.如图是一建筑物的三视图，现需将其外璧进行用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，问需要油漆多少千克？（尺寸如下图所示，单位：米，取3.14，结果精确到0.01kg) 

解析: 由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径3m，母线长5m，四棱柱的高为4m，底面是边长为3m的正方形.

答：共需约22.87千克油漆．

点评: 把三视图转化为几何体，再利用圆锥表面积公式和棱柱表面积计算方法，求这个几何体的表面积，但因本题为实际问题，要注意外壁面积与表面积的区别，

例3.如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD=2cm，下底BC=10cm，底角∠ABC= 600，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．

解: 过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，所以，RtBCF绕AB旋转一周形成以CF为底面半径，BC为母线长的圆锥；直角梯形CFED绕AB旋转一周形成圆台；直角三角形ADE绕AB旋转一周形成一个圆锥，那么梯形ABCD绕AB旋转一周所得的几何体是以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点，以DE为底面半径的圆锥的组合体．

=2487(cm)3.

答：所得的旋转体的体积为2487cm3.

点评: 求组合体的体积，要把它分解成柱、锥、台体后分别求体积，然后求代数和．

 例4.(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积．

 (2)已知球的表面积为64，求它的体积．

(3)已知球的体积为，求它的表面积.

解: （1）∵直径为6cm，∴半径R=3cm

点评: 确定一个球的条件是球心位里和球的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积，反过来．已知体积或表面积也可以求其半径．

例5.一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径（钢的密度是7.9g/cm3 ).

分析: 由钢球的质量可求得钢球的体积，然后利用球的体积求出内径．

解: 设空心钢球的内径为2xcm，那么钢球质量为

点评: 与球有关的实际问题，计算时要注意精确度的要求.

例6. 如图（1）所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=300）.

点评: 本题主要考查旋转体的概念和有关计算公式．以及空间想象能力和计算能力.解决这类问题关键是将图形合理地分割，明确平面图形旋转后形成的几何体是由哪些简单几何体组成，并明确各几何体的元素与原平面图形的元素之间的关系．

几何体体积实际应用两例

关于体积是研究几何体的一个重要方面，在现实生活中有着广泛的应用，也是高考的一个常考知识点，下面体验几何体的实际应用两例：

例1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注水，是水面与球正好相切，然后将球去出，求这时容器中的深度.

分析：作出轴截面，因为铁球取出前后水的体积相同，所以可利用水的体积不变性建立关于水的深度与球的半径的方程.

解析：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，

根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为，

水面半径为，则容器内水的体积为：

将求取出后，设容器中水的深度为，则水面圆的半径为，

从而容器内水的体积是：

 ，由，得.

点评：解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体.

例2、某制药厂计划生产一批半径为的球形药丸，需要每八颗药丸密封装好，现有若干薄型包装原材料，每件，要求用每件包装材料制成一个几何体包装八颗药丸，请你设计这样的几何体（接头部分忽略不计）.

分析：根据题意所求的几何体应满足条件——把个半径为的求聚集在几何体内部且与之充分接触，同时全面积不大于，转化几何体的体积问题.

解析：由题意得，根据八个小球的放置情况，下面给出六种方案，作简单的比较：

    ⑴半径为，高为16的圆柱，此时圆柱的表面积为；

⑵底面边长为2，高为16的正四棱柱，此时四棱柱的表面积为97；

⑶长、宽、高分别为4、2、8的长方体，此时表面积为：112；

⑷棱长为4的正方体，此时正方体的表面积为96；

⑸底面半径为，高为4的圆柱，此时表面积为

⑹半径为的球，此时表面积为.

     由于每块包装材料面积为97，因此仅方案4、6符合要求，所以所设计的几何体的棱长为4的正方体或半径为的球.

     如果工厂具备把包装材料制成球的生产技术，可节省较多的原包装材料，则以半径为的球首选，否则，可一棱长为4的正方体为理想方案.