高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积导学案

例谈空间几何体的表面积和体积

    空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下．

    1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．

例1粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图1），它的两底面边长分别是和，高是，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？

分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．

解：如图1所示，是两底面中心，则是高，设是斜高，，在直角梯形中，

，

因为边数，两底边长，

．

答：制造这一下料斗约需铁板．

评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为，其中是正棱台的斜高．

2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．

例2已知圆锥的底面半径为，高为，其中有一个高为的内接圆柱．求

（1）圆柱的侧面积；

（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？

分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．

解：做圆锥的轴截面，如图2所示．设所求圆柱的底面半径为，则其侧面积为．

因为，

，

．

（2）的表达式中的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：

，底面半径为：．

．

3、球的表面积和体积

球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用．

例3在球内有相距的两个平行截面，截面面积分别是，球心不在截面之间，求球的面积和体积．

分析：可以用球的截面的性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解决．

解：画出轴截面，如图3．圆是球的大圆，分别是两条平行于截面圆的直径，过作，．

由于，所以．

由圆的性质可得，分别是的中点．

设两平行平面的半径分别为，由题意得：

，

．

又都是球的半径，

，，

，，

解得：．

．

4、体积变换问题

体积变换包括体积割补或等积变换，体积割补的目的是为了应用公式计算体积，等积变换的目的是为了以体积为中间媒介，计算相关元素．

例4在长方体中，截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．

分析：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方题和棱锥体积的差来求剩余部分的体积．

解：已知长方题可以看成直四棱柱，设它的地底面的面积为，高为，则它的体积为．

而棱锥的底面积为，高为，故三棱锥的为：

，

余下部分体积为：．

所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比．

5、“切”、“接”问题

“切”、“接”问题即指一个几何体切于其他几何体或其他几何体内接于这个几何体两种情形，求解这类问题的关键是借助于空间图形或轴截面图形，建立两个几何体基本量之间的联系，从而由已知量求出未知量．

例5一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

解：设球未取出时高，球取出后水面高，如图5．

因为，

所以以为底面直径的圆锥容积为：

，

．

球取出后水面下降到，水的体积为：

，

而，

即，，

故球取出后水平面的高为．

体积计算中的常用方法例析

一、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

　　例1　在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，（如图1），试求三棱锥的体积．

　　分析：若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易的求出其高和底面的面积，从而代入公式求解．

　　解：

．

评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．

二、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2　如图2，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

分析：截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为，高为，其体积．

则三角形的面积为．

由于，

则剩余不规则几何体的体积为，

所以两部分的体积之比为．

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．