高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积导学案

空间几何体的“折”与“展”

　　在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换，折叠（旋转）和展开就是两种常见的图形变换形式．

一、折叠（旋转）

把平面图形按照一定的规则要求进行折叠或旋转，得到空间几何体，进而研究其性质，

是一种常见的题型．解这类问题的关键是要分清折叠（旋转）前后的位置关系与数量关系的变与不变．

　　例1　将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为　　　　．

　　解析：先作图如下：

对照平面图形和立体图形反复观察，不难发现，折叠前的线段和，它们在折叠后的长度未变，仍为．由勾股定理不难算出．折叠前与垂直的线段虽被折成两段，但与的垂直关系并没有改变，即．因此易知即为三棱锥的高，从而易求出三棱锥的体积．

例2　面积为的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是　　　　．

解析：设等边三角形的边长为1，则旋转所得的圆锥的母线长为，底面圆的半径为，如图3，图4．

，，即．

圆锥侧面积为．

二、展开

将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本和最常用的方法．而将空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展形图中的相应位置关系是解题的关键．

　　例3　长方体中，，从点出发沿表面运动到点的最短路线长是　　　　　．

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

解析：从沿长方体的表面到是一条折线，如果将折线变为直线，最短路线就容易求出．思路就是沿长方体的棱剪开，使得展开后在同一个平面上，求出即可．至于如何剪，从点出发，有如图（图5，图6，图7均为简图）所示三种情况，在图5中，；在图6中，；在图7中，．对这三种情况比较大小，故应选（Ｃ）．

    例4  圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线长为20cm，从中点拉一根绳子绕圆台侧面转到，求绳子最短的长度，并求绳子上各点与上底圆周距离的最小值．

解析：如图8，沿母线将侧面展开，“化曲为直”，连结，则即为绳子的最短长度，

圆心角．

，，．

在中，cm，

绳子的最短长度为50cm．

作交于，是顶点到的最短距离，

cm，

即绳子上各点与上底圆周的最短距离为4cm．