高中人教版新课标A1.3 空间几何体的表面积与体积导学案

1.3.1  空间几何体的表面积与体积

一、知识导学：1、了解求多面体表面积的方法；2、理解柱、锥、台、球的表面积、体积计算公式，并能灵活运用相关公式进行计算和解决有关实际问题。

二、基础知识：

1、（1）边长为a的正方体表面积等于__________；体积等于_________。

（2）长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积等于____________；

体积等于________________。

一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，

求多面体的表面积。

例1  棱长为a，各面均为等边三角形

的四面体S—ABC的表面积为________。

                       体积为___________.

2、柱、锥、台、球的侧面积、表面积、体积计算公式：

探究：（1）等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积比为____________，

   等底、等高的圆锥、棱锥之间的体积比为____________。

（2）柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。

另外：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式也可以统一为圆台的侧面积公式。

3、球的表面积： ；     球的体积：。

例2  一个圆台上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，

则圆台的表面积为_____________，体积为_____________.

例3  已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，

且AB=BC=CA=2，求球的表面积和体积。

三、达标训练：

1、长方体共顶点的三个面的面积分别是2cm2，6cm2，9cm2，

那么这个长方体的体积为（    ）

A．    B．    C．    D．

2、把球大圆面积扩大到原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的（    ）

   A．2倍    B．4倍    C．2倍    D．8倍

3、三个球的半径之比为1：2：3，

那么最大球的体积与其它两球体积和的比是（    ）

A．1：1    B．2：1     C．3：1    D．4：1

4、如果夹在两个平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影为等圆，

那么它们的体积比为（    ）

A．    B．1：2：3    C．    D．1：2：4

5、体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S1、S2、S3，

则它们的大小关系是（    ）

A．S1 ＜ S2 ＜ S3          B．S1 ＜ S3 ＜ S2

C．S2 ＜ S3 ＜ S1          D．S2 ＜ S1 ＜ S3

6、半球内有一个内接正方体，

则这个半球的的体积与内接正方体的体积之比为（    ）

A．     B．      C．      D．

7、长方体的12条棱的总长度为56cm，表面积为112cm2，

那么长方体的对角线长为_______________。

8、圆锥的侧面母线长为3，侧面展开所成的扇形的中心角等于60°，

那么这个圆锥的底面积是__________________。

9、如果正四棱柱对角线长为3.5cm，侧面的一条对角线长为2.5cm，

那么这个棱柱的体积为________________。

10、圆锥底面的半径为10cm，轴截面是直角三角形，则圆锥的全面积是____cm2。

11、圆台的高是8cm，上底半径、下底半径和母线长三者的比为1：4：5，

那么这个圆台轴截面的面积是_____________cm2。

12、圆台的母线和底面成30º，轴截面的面积为Q，

那么这个圆台的侧面积是_________。

13、圆台上、下底的半径分别是1和4，

母线长为3，则圆台的体积为____。

14、如图，在三棱台ABC—A1B1C1中，

E、F分别是AB、BC的中点，且截面A1C1FE与B1B

平行，它把棱台截成左和右两部分，

则这两部分的体积比为_______。

15、在体积是39cm3的三棱台ABC—A1B1C1中，三棱锥C—A1B1C1的

体积是4cm3，则三棱锥A1—ABC的体积是_____________。

16、长方体中，共顶点的三个侧面面积分别为，，，

则它的外接球体积是__________。

17、球与圆台的上、下底面及母线都相切，且球面面积与圆台侧面积

之比为3：4，则球的体积与圆台体积之比是_________。

18、一个球外接于高是底边两倍的正三棱柱，则球和棱柱的体积之比为_________。

19、半径为2，高也为2的圆柱内挖去一个半径为2的半球凹孔，

则余下的部分的表面积为_____________。

20、在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2和400πcm2，

球心不在截面之间，则球的半径为______________。

21、用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为______。

22、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长为10，

   则其表面积为___________，体积为____________。

23、已知正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，

则此三棱锥的体积为____________________________。

24、已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，

其平面展开图如图所示，

    则该凸多面体的体积V=______________________。

25、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，

则该正方体的表面积为_____________________

26、将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；

若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度．

27、一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，

盆壁长15cm。为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，

涂200个这样的花盆要多少油漆？

28、粉碎机的上料斗是正四棱台，它的上、下底面边长分别为80mm、

440mm，高是200mm，计算制造这样一个上料斗所需铁板的面积.

29、一个母线长与底面圆直径相等的锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？

30、正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的各棱长均为1。求：

（1）正六棱柱的表面积；

（2）一动点从A沿表面移动到点D1的最短路程。