云南省昭通市昭阳区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

2021-2022学年云南省昭通市昭阳区九年级（上）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线，其表达式为

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程的根的情况是

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

4. 若关于的方程有一个根是，则等于

A.  B.  C.  D.

5. 抛物线，经过，两点，那么它的对称轴是

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

6. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的一个实数根，则此三角形的周长是

A.  B. 或 C.  D.

7. 若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为   

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则函数中的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 抛物线的顶点坐标为________．
10. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是______．
11. 关于的方程是一元二次方程，则 ______ ．
12. 已知，是一元二次方程的两根，则 ______ ．
13. 如图，边长为的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于、，则阴影部分的面积是______ ．
    
     

14. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法：
    ；
    方程的根为、；
    当时，随值的增大而减小；
    当时，．
    其中正确的说法是______填序号
    

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

15. 某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．
    求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
    每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
    每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共68分）

16. 解下列方程：
    ；．
    
    
    
    
     
17. 在平面直角坐标系中的位置如图，、、三点在格点上．
    作出关于轴对称的图形；
    作出将绕点顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标．

18. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为多少？
    
    
    
    
    
     
19. 若二次函数与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
    求，两点的坐标；
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，点是正方形内一点，点到点、和的距离分别为，，，沿点旋转至，连结，并延长与相交于点．
     

求证：是等腰直角三角形；

求的大小．



 

21. 我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有人，间每个人计划发展下线多少人？
    
    
    
    
     
22. 阅读例题，解答问题：
    例：解方程，
    解：原方程化为．
    令，
    解得：，
    当，；
    当时不合题意，舍去
    原方程的解是，，
    仿照上例解方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线交轴于另一点．
    求抛物线的解析式；
    在该抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 

2.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向上平移个单位得到的对应点的坐标为，
所以平移的抛物线解析式为．
故选：．
先确定原抛物线的顶点坐标为，再利用点的平移规律得到点向左平移个单位，再向上平移个单位得到的对应点的坐标为，
然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

3.【答案】
 

【解析】解：原方程可化为：，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
先求出的值，再判断出其符号即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】
 

【解析】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是，
所以对称轴是直线．
故选：．
抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的对称性，题目比较灵活，也比较容易．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
或，
，，
而三角形两边的长分别是和，
，不符合三角形三边关系，舍去，
，即三角形第三边的长为，
三角形的周长．
故选：．
把方程左边因式分解得到，再把方程化为两个一元一次方程或，解得，，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，
然后计算三角形的周长．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系．
 

7.【答案】
 

【解析】解：抛物线为二次函数，
，
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
，
则的取值范围为且．
故选C．
根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出，进而求出的取值范围．
考查二次函数的图象与轴交点的个数的判断．
 

8.【答案】
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，的值随值的增大而减小，
而时，的值随值的增大而减小，
所以．
故选：．
先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为：
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
考查将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
 

10.【答案】
 

【解析】解：二次根式有意义，
，
．
故答案为：．
二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由一元二次方程的特点得，解得．
本题根据一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，所以，且，解得的值．
要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了．
 

12.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程的两根为、，
，
，
．
故答案是：．
利用韦达定理求得，，然后将其代入通分后的所求代数式并求值．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意可知
≌，
，
阴影面积三角形面积．
故答案为：．
由题可知≌，阴影面积就等于面积．
本题主要考查正方形的性质和三角形的判定，不是很难，会把两个阴影面积转化到一个图形中去．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由抛物线图象得：开口向下，即；
抛物线与轴交于正半轴，则；
对称轴是直线，即，
，故选项正确；
抛物线图象与轴的交点为、，
方程的根为、，故选项正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随值的增大而减小，故选项正确；
由图象可知，当时，，故选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数图象与系数之间的关系，抛物线与轴的交点，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数的性质．
 

15.【答案】解：且为整数；

由中的与的解析式配方得：．
，当时，有最大值．
，且为整数，
当时，，元，
当时，，元，
当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元．

当时，，
解得：，．
当时，，
当时，，
当售价定为每件元或元，每个月的利润为元．
 

【解析】根据题意可知与的函数关系式．
根据题意可知，当时有最大值．
设，解得的值．
此题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现建模思想的渗透．
 

16.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
或，
解得．
 

【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求，点的坐标为．
 

【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
分别作出点、绕点顺时针方向旋转后所得对应点，再与点首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质．
 

18.【答案】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是，由题意得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是．
 

【解析】一般用增长后的量增长前的量增长率，今年年要投入资金是万元，在今年的基础上再增长，就是明年的资金投入，由此可列出方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．
 

19.【答案】解：令，则，
解得：，，
点在点的左侧，
，；
当与轴相交时，令，则，
，
，
由知，，
，
，
答：的面积为．
 

【解析】令，解方程可得出答案；
先求出点坐标，即，再求出，由三角形的面积可得出结论．
此题考查了二次函数的图象与轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
沿点旋转至，
，，
是等腰直角三角形；
解：是等腰直角三角形，
，，
沿点旋转至，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
．
 

【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．
根据正方形的性质得，，再利用旋转的性质得，，于是可判断是等腰直角三角形；
根据等腰直角三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，接着根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，然后利用平角定义计算的度数．
 

21.【答案】解：设每个人计划发展下线人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：在每轮发展中平均一个成员发展下线人．
 

【解析】设每个人计划发展下线人，根据经过两轮发展后非法传销组织成员共有人，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：原方程化为，
令，
，
解得，，
当，，或，
当时不合题意，舍去，
原方程的解是，．
 

【解析】原方程化为，令，得，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

23.【答案】解：直线交轴于点，
，
直线，
，
把，，代入，得，
解得．
抛物线的解析式，
如图，连接，交对称轴一点，此点就是点，使最小，

，关于对称轴对称，
此时最小，
，
直线的解析式为：，
对称轴为，
，
存在
如图，当时，是等腰三角形，

，

，
，，
如图，当时，是等腰三角形，

，
，
如图，当时，是等腰三角形，

设，
，，
，解得，

综上的所述，，，，．
 

【解析】由直线交轴于点，求出的值，可得出的坐标，把，，代入，即可得出抛物线的解析式，
连接，交对称轴一点，此点就是点，使最小，求出直线的解析式，再利用对称轴为，即可得出点的坐标，
利用当时，是等腰三角形，当时，是等腰三角形，当时，是等腰三角形，分别求出点的坐标．
本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．