海南省海口市七校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份海南省海口市七校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年海南省海口市七校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填涂在答题卡指定位置.
1．若代数式有意义，a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2 D．a≥﹣2且a≠0
2．下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．÷＝ B．2+3＝6
C．﹣＝ D．（+1）（﹣1）＝3
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
5．若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　）
A．2a＝3b B．3a＝2b C． D．
6．a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若，BC＝6，则DE长等于（　　）

A．1.8 B．2 C．2.5 D．3
9．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．
10．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝8，AD＝4，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为30，那么△ACD的面积为（　　）

A．5 B．7.5 C．10 D．15
12．等腰三角形的一条边长为2，另两边m，n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1＝0的两根，则k的值为（　　）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若x，y是实数，且y＝++3，则的值为 　 　．
14．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝　 　，另一个根是　 　．
15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．

16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为 　 　．

三、解答题（共68分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0．
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　 　个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．
（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，D为边AB的中点．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动．连接PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为t（s），△DPQ的面积为S（cm2）．
（1）当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值．
（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．
（3）当点Q从开始运动到停止时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当△DPQ的任意一条边将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填涂在答题卡指定位置.
1．若代数式有意义，a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2 D．a≥﹣2且a≠0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
2．下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
解：＝2，不是最简二次根式，
故选：C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．÷＝ B．2+3＝6
C．﹣＝ D．（+1）（﹣1）＝3
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：∵，故选项A正确；
∵，故选项B错误；
∵，故选项C错误；
∵（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　）
A．2a＝3b B．3a＝2b C． D．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
解：A、2a＝3b⇒a：b＝3：2，故选项错误；
B、3a＝2b⇒a：b＝2：3，故选项正确；
C、＝⇒b：a＝2：3，故选项错误；
D、＝⇒a：b＝4：3，故选项错误．
故选：B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
6．a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，变形得到a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
解：根据题意得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
7．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．
解：∵DE∥BC，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，EF＝BD，
∴，，，，
∴正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
8．如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若，BC＝6，则DE长等于（　　）

A．1.8 B．2 C．2.5 D．3
【分析】首先根据DE∥BC证得△DAE∽△BAC，于是可得＝，然后根据题干条件，BC＝6即可求出DE的长．
解：∵DE∥BC，
∴△DAE∽△BAC，
∴＝，
∵，BC＝6，
∴＝，
∴DE＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质和翻折变换的知识点，解答本题的关键是根据△DAE∽△BAC求出DE和BC的比例关系，此题难度不大．
9．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．
【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；
当＝时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
10．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝8，AD＝4，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为30，那么△ACD的面积为（　　）

A．5 B．7.5 C．10 D．15
【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为30，进而求出△ACD的面积．
解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝8，AD＝4，
∴△ACD的面积：△ABC的面积＝（）2＝1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，
∵△ABD的面积为30，
∴△ACD的面积＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
12．等腰三角形的一条边长为2，另两边m，n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1＝0的两根，则k的值为（　　）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
【分析】当m＝2时，利用根与系数的关系得2+n＝6，则解得n＝4，不符合三角形三边的关系，舍去；同理当m＝2时，舍去；当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k﹣1）＝0，解得k＝10．
解：当m＝2时，
根据根与系数的关系得2+n＝6，
解得n＝4，
而2+2＝4，不符合三角形三边的关系，舍去；
同理当m＝2时，舍去；
当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k﹣1）＝0，解得k＝10，
此时m＝n＝3，符合题意，
所以k的值为10．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式和三角形三边的关系．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若x，y是实数，且y＝++3，则的值为 　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x，进而求出y，根据算术平方根计算即可．
解：由题意得：x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得：x＝4，
则y＝3，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、算术平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝　1　，另一个根是　﹣3　．
【分析】根据一元二次方程的解定义，将x＝2代入关于x的方程x2+mx﹣6＝0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2＝﹣解出方程的另一个根．
解：根据题意，得
4+2m﹣6＝0，即2m﹣2＝0，
解得，m＝1；
由韦达定理，知
x1+x2＝﹣m；
∴2+x2＝﹣1，
解得，x2＝﹣3．
故答案是：1、﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2＝﹣、x1•x2＝来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．
15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．

【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知＝，即＝，
解得AM＝5m．则小明的影长为5米．

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为 　16　．

【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16，
故答案为：16．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
三、解答题（共68分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先分母有理化，再根据零指数幂和负整数指数幂计算，然后合并即可．
解：（1）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）原式＝3﹣÷+﹣1﹣1
＝3﹣1+﹣2
＝4﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
18．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0．
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0，
∴（x﹣2）2＝16，
∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得x1＝3，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　（600﹣20x）　个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
【分析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个”列出代数式；
（2）设每个台灯降价x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答．
解：（1）依题意得：每月能售出（600﹣20x）个台灯．
故答案是：（600﹣20x）．

（2）设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，
解得x1＝3，x2＝4（舍）．
当x＝3时，40﹣3＝37，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；
当x＝4时，40﹣3＝36，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．
（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．


（2）如图所示，A2（0，2），B 2（﹣1，﹣1）．

（3）△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．
【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE＝，再根据△ADF∽△DEC，得出＝，即可求出AF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，D为边AB的中点．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动．连接PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为t（s），△DPQ的面积为S（cm2）．
（1）当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值．
（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．
（3）当点Q从开始运动到停止时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当△DPQ的任意一条边将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值．

【分析】（1）由△APD∽△ABC．可得，延长即可解决问题；
（2）分三种情形情形讨论求解即可；
（3）①如图④，当0≤t≤2时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．②如图⑤，当2＜t≤3时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．
（4）分四种情形①如图⑥或⑨中，当AP＝PC时，t＝1或3时，P是AC中点，满足条件．②如图⑦中，当Q是BC中点时，满足条件，此时t＝，③当PQ分△ABC的面积1：3时，构建方程即可解决问题；
解：（1）如图①，

∵DP⊥AB，∠C＝90°，
∴∠C＝⊂ADP＝90°．
由勾股定理，得AC＝＝4．
∵∠A＝∠A，
∴△APD∽△ABC．
∴．
∴．
∴t＝．

（2）如图②，

当△CPQ∽△CAB时，则，
∴或＝
∴t＝或6（舍弃）
如图③，当△CPQ∽△CBA时，则，
∴＝或＝
∴t＝或（舍弃）．
当Q到达终点后，＝或＝，
解得t＝或4．
综上所述，t的值为或或或4．

（3）①如图④，当0≤t≤2时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．

∴S△DPQ＝S△ABC﹣S△ADP﹣S△CPQ﹣S△BDQ
＝AC﹣BC﹣AD﹣PE﹣BD﹣QF﹣CP﹣CQ
＝﹣﹣﹣
∴S＝t2﹣+3．
如图⑤，当2＜t≤3时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．
∴S△DPQ＝S△ABC﹣S△ADP﹣S△CPQ﹣S△BDQ
＝AC﹣BC﹣AD﹣PE﹣BD﹣QF﹣CP﹣CQ
＝﹣﹣﹣
∴S＝﹣t2+．

（4）①如图⑥或⑨中，当AP＝PC时，t＝1或3时，P是AC中点，满足条件．
②如图⑦中，当Q是BC中点时，满足条件，此时t＝，
③当PQ分△ABC的面积1：3时，•（4﹣2t）•t＝••3•4，
整理得2t2﹣4t+3＝0，∵Δ＜0，方程无解．
或•（2t﹣4）•t＝••3•4
整理得2t2﹣4t﹣3＝0，解得t＝或（舍弃）
综上所述，满足条件的t的值为t＝1，t＝，t＝，t＝3．

【点评】本题考查相似形综合题、勾股定理、三角形面积、一元二次方程等知识，解题的关键是学会理由相似三角形的性质解决问题，学会由与用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．