河南省许昌市建安区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

这是一份河南省许昌市建安区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（Word版含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省许昌市建安区九年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
3．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
4．已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
5．要得到抛物线y＝（x﹣4）2，可将抛物线y＝（x+1）2（　　）
A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
6．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（　　）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
7．设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（　　）
A．3 B．2 C．4或10 D．2或5
8．如图．AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．60°
9．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则S△ABC等于（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠ACB的大小是（　　）

A．13° B．15° C．32° D．77°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于原点对称的点是　 　．
12．一元二次方程﹣2x2+6x＝0的根为 　 　．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝　 　．
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝70°，则∠BOC＝　 　．

15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A、C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是 　 　（只填序号）．

三、解答题（共75分）
16．解方程：
（1）（x+1）2+2＝3（x+1）；
（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．
17．已知关于x的一元二次方程方程x2+（k+1）x+k﹣1＝0．求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根．
18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED＝6，∠A＝30°，求⊙O的半径．

20．如图，有一个抛物线的拱形立交桥，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？

21．文峰快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是多少元？
22．实验操作：
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点P（1，﹣1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到△DEF，请在坐标系中画出点P和△DEF．
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边△ABC，它的顶点A，B，C都落在格点上，若将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°得到△A′B′C′，请在菱形网格图中画出△A′B′C′，请问点A旋转到点A′所经过的路线长为多少？

23．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
3．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：由已知得：，
解得：a≥1且a≠5．
故选：C．
4．已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．
解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：D．
5．要得到抛物线y＝（x﹣4）2，可将抛物线y＝（x+1）2（　　）
A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
解：∵y＝（x﹣4）2的顶点坐标为（4，0），y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴将抛物线y＝（x+1）2向右平移5个单位，可得到抛物线y＝（x﹣4）2，
故选：D．
6．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（　　）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【分析】等量关系为：一月份生产的零件个数+二月份生产的零件个数+三月份生产的零件个数＝218万个．
解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60（1+x），
同理可得三月份生产的零件个数为60（1+x）（1+x），
那么60+60×（1+x）+60（1+x）2＝218．
即：60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218，
故选：C．
7．设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（　　）
A．3 B．2 C．4或10 D．2或5
【分析】根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可以求得圆的半径．
解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，
∴⊙O的直径为：7﹣3＝4，
∴⊙O的半径为2，
故选：B．
8．如图．AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．
解：如图，连接BD，

∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故选：B．
9．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则S△ABC等于（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得A、B点的坐标为（﹣1，0），（3，0），再确定C点坐标，然后根据三角形面积公式计算．
解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A、B点的坐标为（﹣1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6．
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠ACB的大小是（　　）

A．13° B．15° C．32° D．77°
【分析】由旋转的性质可知△ACC'是等腰直角三角形，再利用三角形外角的性质可得．
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠BCA＝∠AC'B'，
∴△ACC'是等腰直角三角形，
∴∠ACC'＝45°，
∴∠AB'C'＝∠ACC'+∠B'C'C＝45°+32°＝77°，
∴∠AC'B'＝13°，
∴∠ACB＝∠AC'B'＝13°，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于原点对称的点是　（﹣2，﹣1）　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
解：点A（2，1）关于原点对称的点是（﹣2，﹣1）．
故答案是：（﹣2，﹣1）．
12．一元二次方程﹣2x2+6x＝0的根为 　x1＝0，x2＝3　．
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：∵﹣2x2+6x＝0，
∴﹣2x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝　10　．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝4，再把3m2﹣9m变形为3（m2﹣2m）﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝70°，则∠BOC＝　70°　．

【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，根据邻补角的概念计算即可．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝70°，
故答案为：70°．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A、C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是 　①③　（只填序号）．

【分析】由图象可得抛物线开口向下，结合图象，利用抛物线的性质求解．
解：由图象可得抛物线开口向下，
∴①正确，符合题意．
∵点A（﹣4，2），C（0，3）不关于直线x＝﹣2对称，
∴当x＝﹣2时，y不取最大值，
∴②错误，不符合题意．
∵抛物线开口向下，且经过（﹣2，4），
∴m＜4时，ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根，
∴③正确，符合题意．
∵直线y＝kx+c经过点A、C，抛物线开口向下，
∴﹣4＜x＜0时kx+c＜ax2+bx+c，
∴④错误，不符合题意．
故答案为：①③．
三、解答题（共75分）
16．解方程：
（1）（x+1）2+2＝3（x+1）；
（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．
【分析】（1）先移项得到（x+1）2+3（x+1）+2＝0，把方程看作关于（x+1）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．
解：（1）（x+1）2+3（x+1）+2＝0，
（x+1+2）（x+1+1）＝0，
即（x+3）（x+2）＝0，
x+3＝0或x+2＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣2；
（2）x2+10x+23＝0，
∵Δ＝102﹣4×23＝8＞0，
∴x＝＝＝﹣5±，
∴x1＝﹣5+，x2＝﹣5﹣．
17．已知关于x的一元二次方程方程x2+（k+1）x+k﹣1＝0．求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】证明：∵x2+（k+1）x+k﹣1＝0，
∴Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根．
18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把点（2，3）代入二次函数解析式进行验证即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，
∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED＝6，∠A＝30°，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线的判定方法，证出OD⊥DE即可；
（2）由等腰三角形的性质和锐角三角函数求出AC＝6，再根据特殊锐角三角函数的定义求出BC，进而求出半径即可．
解：（1）连接OD，CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
即∠BDO+∠ODC＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵DE＝AE，
∴∠ADE＝∠EAD，
又∵∠C＝90°，
∴∠OBD+∠A＝90°，
∴∠ODB+∠ADE＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE、EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∵ED＝6＝AE，∠A＝30°，
∴∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC＝DE＝6，
在Rt△ABC中，
tanA＝，
即＝，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径为．

20．如图，有一个抛物线的拱形立交桥，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？

【分析】根据抛物线形的拱桥在坐标系中的位置，找出抛物线上顶点和另一个点的坐标，代入抛物线的顶点式求出抛物线的解析式，再根据铁柱所在地的横坐标求出纵坐标，就是铁柱的高度．
解：由题意，知抛物线的顶点坐标为（20，16），点B（40，0），
∴可设抛物线的关系为y＝a（x﹣20）2+16．
∵点B（40，0）在抛物线上，
∴a（40﹣20）2+16＝0，
∴a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2+16．
∵竖立柱柱脚的点为（15，0）或（25，0），
∴当x＝15时，y＝﹣（15﹣20）2+16＝15m；
当x＝25时，y＝﹣（25﹣20）2+16＝15m．
∴铁柱应取15m．
21．文峰快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是多少元？
【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．
解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解得：a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
22．实验操作：
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点P（1，﹣1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到△DEF，请在坐标系中画出点P和△DEF．
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边△ABC，它的顶点A，B，C都落在格点上，若将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°得到△A′B′C′，请在菱形网格图中画出△A′B′C′，请问点A旋转到点A′所经过的路线长为多少？

【分析】（1）先做出P点，然后找出点A、B、C绕点P顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C绕点P顺时针旋转60°的位置，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，然后根据弧长公式求出点A旋转到点A′所经过的路线长．
解：（1）如图1中，点P和△DEF即为所求；

（2）如图2中，△A′B′C′即为所求．
；
点A的运动路线＝＝π．
23．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．

【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；
（2）由（1）中的全等得到∠C＝∠CBG．∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系．
【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．