辽宁省鞍山市台安县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

这是一份辽宁省鞍山市台安县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（Word版含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省鞍山市台安县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．若方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．±2 B．+2 C．﹣2 D．以上都不对
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．下列说法正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．等弧所对的圆心角相等
C．经过三点可以做一个圆
D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
4．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣5）2+8 B．y＝﹣2（x﹣3）2+8
C．y＝﹣2（x﹣5）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2+2
6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝　 　．
10．若a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则代数式2021﹣a2+2a的值为 　 　．
11．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
12．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+n上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
13．一个已知点P到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　．
14．某商店连续两次降价10%后商品的价格是81元，则该商品原来的价格是　 　元．
15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 　 　cm．

16．如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 　 　．

三、解答题（每小题8分，共16分）
17．按照要求解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；
（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2；
（3）连接A1、A2，并直接写出线段A1A2的长．

四、解答题（每小题10分，共20分）
19．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
20．为满足市场需求，中百超市在中秋节前夕购进价格为6元/个的月饼，根据市场预测，该品牌月饼每个售价8元时，每天能出售1000个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌月饼的售价不能超过进价的200%．
（1）该品牌月饼每个售价为9元，则每天出售多少个？
（2）该品牌月饼定价为多少元时，该超市每天的销售利润为3200元．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）点G是CD的中点，OG＝3，CD＝8，求⊙O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

22．如图所示，有一建筑工地从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．

六、解答题（每小题10分，共20分）
23．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
七、解答题
25．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

八、解答题
26．如图，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线上一点，且不与点B重合，若S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）E为抛物线上一点，若∠BCE＝45°，求点E的坐标．



参考答案
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．若方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．±2 B．+2 C．﹣2 D．以上都不对
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得
|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，
故选：C．
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．等弧所对的圆心角相等
C．经过三点可以做一个圆
D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【分析】利用三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系分别判断后即可得到正确的答案．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
B、等弧所对的圆心角相等，故符合题意；
C、经过不在同一直线上的三点可以做一个圆，故不符合题意；
D、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故不符合题意，
故选：B．
4．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．
故选：C．
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣5）2+8 B．y＝﹣2（x﹣3）2+8
C．y＝﹣2（x﹣5）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2+2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是：y＝﹣2（x+1﹣4）2﹣3+5，即y＝﹣2（x﹣3）2+2；
故选：D．
6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
解：∵∠AOC的度数为100°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝100°﹣40°＝60°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝50°，
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出⊙O的半径，再根据切线的性质可得AD的长．
解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，

设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知条件得出：a＜0，﹣＝1，c＞0，a﹣b+c＝0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项．
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故②正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正确；
∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），
∴当y＝n时，x＝﹣3或5．
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：D．
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝　4　．
【分析】利用二次函数的性质得到a＞0，然后根据|a|＝4，即可求得a＝4．
解：∵抛物线y＝ax2开口向上，
∴a＞0，
∵|a|＝4，
∴a＝4，
故答案为4．
10．若a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则代数式2021﹣a2+2a的值为 　2018　．
【分析】直接把a的值代入得出2a2+a＝2，进而将原式变形得出答案．
解：∵a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝3，
∴2021﹣a2+2a＝2021﹣（a2﹣2a）＝2021﹣3＝2018．
故答案为：2018．
11．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 　15　．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去；
当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15，
故答案为：15．
12．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+n上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y1＜y3　（用“＜”连接）．
【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后二次函数的对称性和增减性即可判断．
解：∵y＝﹣（x+1）2+n，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∵C（﹣2，y3）与点（0，y3）关于直线x＝﹣1对称，且﹣1＜0＜1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
13．一个已知点P到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是 　6或3　．
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为9，
∴圆的直径为9﹣3＝6，
∴该圆的半径是3；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为9，
∴圆的直径＝9+3＝12，
∴圆的半径为6，
故答案为6或3．
14．某商店连续两次降价10%后商品的价格是81元，则该商品原来的价格是　100　元．
【分析】可设该商品原来的价格是x元，根据等量关系式：原价×（1﹣降低率）2＝81，列出方程即可求解．
解：设该商品原来的价格是x元，则
x×（1﹣10%）2＝81，
解得x＝100．
故答案是：100．
15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 　　cm．

【分析】在同圆或等圆中，弦相等可得，弧相等，继而得到等弧所对的圆周角相等，所以添加辅助线，连接AD，得到∠ADB＝∠CAD，从而得到△AED是一个等腰直角三角形，由圆周角的度数能得出圆心角的度数，所以连接OA，OB，然后求出圆心角∠AOB的度数即可解决．
解：连接AD，OA，OB，
∵AC＝BD，
∴弧AC＝弧BD，
∴弧AC﹣弧BC＝弧BD﹣弧BC，
即弧AB＝弧CD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，
∴AB＝．

16．如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 　2+1　．

【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，从而可证△OCE≌△FCD，进而得到OE＝FD，将求线段OE的最大值转化为求线段FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
解：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，
∴∠DCE＝∠OCF＝90°，
∴∠OCE＝∠FCD，
又∵CD＝CE，
∴△OCE≌△FCD（SAS），
∴OE＝FD，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵AB＝2，OB＝BC，
∴OC＝CF＝2，
∴OF＝2，
∴FH＝OF+OH＝2+1，
∴OE最大值＝DF最大值＝FH＝2+1，
故答案为：2+1．

三、解答题（每小题8分，共16分）
17．按照要求解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；
（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝8，
配方得：x2﹣2x+1＝9，即（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2；
（3）连接A1、A2，并直接写出线段A1A2的长．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别绕点O按逆时针方向旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）利用勾股定理求解即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）A1A2＝＝6．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；
（2）根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2＝0，
解得：m＝2．
当m＝2时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程的另一个根为2．
（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0有两个不同的实数根，
∴，
解得：m＞且m≠1，
∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．
20．为满足市场需求，中百超市在中秋节前夕购进价格为6元/个的月饼，根据市场预测，该品牌月饼每个售价8元时，每天能出售1000个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌月饼的售价不能超过进价的200%．
（1）该品牌月饼每个售价为9元，则每天出售多少个？
（2）该品牌月饼定价为多少元时，该超市每天的销售利润为3200元．
【分析】（1）利用销售数量＝1000﹣提高的价格÷0.1×10，即可求出每天出售的数量；
（2）设该品牌月饼定价为x元，则每个月饼的销售利润为（x﹣6）元，每天可售出（1800﹣100x）个，利用该超市每天销售该品牌月饼获得的利润＝每个月饼的销售利润×每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该品牌月饼的售价不能超过进价的200%，即可确定该品牌月饼的定价．
解：（1）1000﹣（9﹣8）÷0.1×10
＝1000﹣1÷0.1×10
＝1000﹣100
＝900（个）．
答：该品牌月饼每个售价为9元时，每天出售900个．
（2）设该品牌月饼定价为x元，则每个月饼的销售利润为（x﹣6）元，每天可售出1000﹣（x﹣8）÷0.1×10＝（1800﹣100x）个，
依题意得：（x﹣6）（1800﹣100x）＝3200，
整理得：x2﹣24x+140＝0，
解得：x1＝10，x2＝14．
又∵该品牌月饼的售价不能超过进价的200%，
∴x≤6×200%＝12，
∴x＝10．
答：该品牌月饼定价为10元时，该超市每天的销售利润为3200元．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）点G是CD的中点，OG＝3，CD＝8，求⊙O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OGD＝90°，在Rt△OGD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于M，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又＝，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AMB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】（1）解：连接OD，如图1：

∵G是CD的中点，CD＝8，
∴DG＝CD＝4，OG⊥CD，∠OGD＝90°，
Rt△OGD中，OD＝，且OG＝3，
∴OD＝＝5，即圆O的半径长为5；
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于M，如图2：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AM⊥BD，即AF⊥BD．
22．如图所示，有一建筑工地从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．

【分析】（1）根据题意得出二次函数顶点坐标为M（1，），设出顶点式，代入点A（0，10）进而求出抛物线解析式；
（2）令y＝0时，解一元二次方程即可，在实际问题中，注意负值舍去．
解：（1）可建立如图所示坐标系，
由题知A（0，10），顶点坐标M（1，），
设y＝a（x﹣1）2+，
将（0，10）代入，
得a＝10﹣＝﹣，
即y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣（x2﹣2x+1）+＝﹣x2+x+10；

（2）将y＝0代入得：﹣x2+x+10＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1（舍去），
即OB＝3米．

六、解答题（每小题10分，共20分）
23．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

【分析】（1）根据切线的判定方法，证出OC⊥AC即可；
（2）根据勾股定理求出BD，再根据锐角三角函数求出AC即可．
解：（1）连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵＝tanD＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．

24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【分析】（1）利用每件的利润乘以每月的销售量，可得w关于x的二次函数，由每件的利润不高于成本价的60%及进价为每件20元可得自变量x的取值范围．
（2）先确定二次函数的对称轴，再根据开口方向及函数的增减变化可得出答案．
解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000．
∵每件的利润不高于成本价的60%．
∴20≤x≤20（1+60%），
∴20≤x≤32，
∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．
（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），
∴对称轴为直线x＝﹣＝35，
又∵a＝﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．
∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
七、解答题
25．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

【分析】（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，判断出FA＝FQ，再判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，再判断出CF＝CE＝2，即可得出结论；
（2）延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，得出AG＝ME，再判断出△ADC≌△AEM（SAS），得出CD＝EM，即可得出结论；
（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，先判断出△ADE是等边三角形，得出AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，进而判断出点A，B，C，E四点共圆，得出∠BEC＝∠BAC＝120°，再判断出BE是AD的垂直平分线，也是∠ABC的角平分线，设AG＝a，则DG＝a，进而得出CD＝2a，CE＝DE＝a，AD＝a，再构造直角三角形求出AC，即可得出结论．
解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；

（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；

（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△AHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．



八、解答题
26．如图，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线上一点，且不与点B重合，若S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）E为抛物线上一点，若∠BCE＝45°，求点E的坐标．

【分析】（1）将抛物线解析式设为交点式，再将（0，3）代入可求得抛物线解析式；
（2）只要点D到AC的距离等于点B到AC，则S△ACD＝S△ABC，所以过点B作BG∥AC，然后在y轴上截取CE＝CG，再作EF∥AC交抛物线于D，求出BG和EF的函数解析式，然后分别与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组求得点D坐标．
解：（1）设抛物线解析式是y＝a（x﹣1）•（x﹣3），
∴a•（0﹣1）•（0﹣3）＝3，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）•（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，


作BG∥AC交OC于G，交抛物线于G1，
作直线EF∥AC交y轴于E，且到CA的距离等于BG到AC的距离，
∴＝S△ABC，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式是：y＝﹣x+3，
∵B（1，0），
∴直线BG的解析式是：y＝﹣x+1，
∵C（0，3），
∴CG＝3﹣1＝2，
∴CE＝CG＝2，
∴OE＝OC+CE＝5，
∴直线EF的解析式是：y＝﹣x+5，
由得，
，，
由得，
，，
∴D（2，﹣1）或（，）或（，）；
（3）如图2，

作MB⊥CB交CE于M，作MN⊥AB于N，
∴∠CBM＝∠BOC＝∠MNB＝90°，
∴∠BCO+∠OBC＝90°，
∠BCO+∠MBN＝90°，
∴∠BCO＝∠MBN，
∵∠BCE＝45°，
∴∠CMB＝45°，
∴∠CMB＝∠BCE，
∴CB＝NB，
∴△MNB≌△BCO（AAS），
∴MN＝OB＝1，BN＝OC＝3，
∴ON＝OB+BN＝4，
∴M（4，1），
∵C（0，3），
∴直线CE的解析式是：y＝﹣x+3，
由得，
，，
∴E（，）．