浙江省宁波七中教育集团2021-2022学年九年级上学期数学期中【试卷+答案】

这是一份浙江省宁波七中教育集团2021-2022学年九年级上学期数学期中【试卷+答案】，共33页。试卷主要包含了若，则＝，下列事件中，属于不可能事件的是等内容，欢迎下载使用。

浙江省宁波七中教育集团2021-2022学年九年级上学期
数学期中考试题 
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．a是实数，则|a|≥0
B．任意一个三角形都有外接圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6
D．一匹马奔跑的速度是每秒100米
3．将抛物线y＝﹣x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x+3）2﹣5
C．y＝﹣（x﹣3）2+5 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
4．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）

A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则（　　）
A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10
7．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝2b B．a＝b C．a＝4b D．a＝2b
8．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲＝x，S乙＝．由此可以推测（　　）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车都超速 D．两车都未超速
10．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
11．正五边形每个内角的度数为 　 　．
12．在创建全国文明城市活动中，衢州市园林部门为了扩大市区的绿化面积，进行了大量的树木移栽．如表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数和成活棵数：

请根据表中数据估计，现园林部门移栽50000棵这种幼树，大约能成活 　 　棵．
13．已知在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，D是BC上一点，满足AD＝CD，则＝　 　．

14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）．

15．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 　 　．

16．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若＝，且AB＝10，则CB的长为　 　．

三、解答题（第17-19小题每题8分，第20-22小题每题10分，第23题12分，第24小题14分，共80分）
17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
18．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．

19．为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小亮从A测温通道通过的概率是 　 　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若，△EFC的面积是25，求△ABC的面积．

21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
22．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数表达式；
②未来两年内，当月销售量P为　 　时，月毛利润为w达到最大．

23．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝+6与x轴、y轴的交点．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC．
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

24．我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形．　 　（填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值．


















浙江省宁波七中教育集团2021-2022学年九年级上学期
数学期中考试题参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知得出a，b的关系，进而代入求出答案．
【解答】解：∵，
∴a＝4b
∴＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．a是实数，则|a|≥0
B．任意一个三角形都有外接圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6
D．一匹马奔跑的速度是每秒100米
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；
B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；
C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；
D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．将抛物线y＝﹣x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x+3）2﹣5
C．y＝﹣（x﹣3）2+5 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是y＝﹣（x+3）2+5，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）

A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可．
【解答】解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正多边形、三角形外心的性质等知识；熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】 解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．

【点评】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
6．数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则（　　）
A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10
【分析】首先确定数轴与⊙B的交点表示的数为2或10，然后根据点A在⊙B内写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】解：∵点B表示实数6，⊙B半径为4．
∴数轴与⊙B的交点表示的数为2或10，
∵点A表示实数a，点A在⊙B内，
∴2＜a＜10，
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
7．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝2b B．a＝b C．a＝4b D．a＝2b
【分析】根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【解答】解：∵小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b，
∴＝，
∴a2＝b2，
∴a2＝4b2，
∴a＝2b（负数舍去），
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．
8．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2×（6π﹣）＝9﹣3π，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S＝．
9．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲＝x，S乙＝．由此可以推测（　　）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车都超速 D．两车都未超速
【分析】根据题意分别求出甲、乙的车速进而得出相撞的原因．
【解答】解∵甲车的刹车距离为12m，
∴x2+x＝12，
即x2+10x﹣1200＝0，
解得：x1＝30 x2＝﹣40（不合题意舍去），
所以甲车的速度为30km/h，不超过限速，
而乙车的刹车距离为10m，
则有x2+x＝10，
即x2+10x﹣2000＝0，
解得：x1＝40，x2＝﹣50（不合题意舍去），
所以乙车的速度为40km/h，超过了限速35km/h的规定．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用一元二次方程正确求出两车的行驶速度是解题关键．
10．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；
【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．

∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，
∴AC＝2，
∵CN＝DN，DM＝AM，
∴MN＝AC＝，
∵CP＝PB，CN＝DN，
∴PN＝BD，
当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，
∴PM+MN的最大值为2+．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．正五边形每个内角的度数为 　108°　．
【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，
540°÷5＝108°；

方法二：360°÷5＝72°，
180°﹣72°＝108°，
所以，正五边形每个内角的度数为108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
12．在创建全国文明城市活动中，衢州市园林部门为了扩大市区的绿化面积，进行了大量的树木移栽．如表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数和成活棵数：

请根据表中数据估计，现园林部门移栽50000棵这种幼树，大约能成活 　4500　棵．
【分析】首先计算出成活率，然后代入计算即可．
【解答】解：设能成活x棵，根据题意得：
＝，
解得：x＝4500．
故大约能成活4500棵．
故答案为：4500．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
13．已知在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，D是BC上一点，满足AD＝CD，则＝　　．

【分析】证AB＝BD，ABC∽△DCA，得＝，则＝，得D是线段BC的黄金分割点，即可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，△ABC∽△DCA，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，＝，
∴AB＝BD，
∴＝，
∴D是线段BC的黄金分割点，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是　③④　（填入正确结论的序号）．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵图象于y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
∴①不合题意，
当x＝1+时，y＝a（1+）2﹣2a（1+）+c＝a+c，
当x＝1+时，不能确定a+c的值，
∴②不合题意，
根据图象可知，离对称轴越远的函数越小，
∵﹣1到1的距离大于2到1的距离，
∴y1＜y2，
∴③符合题意，
若m＜x1，则p＜0，m﹣x1＜0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）＜0，
若x1≤m＜x2，则p＞0，m﹣x1≥0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
若m≥x2，则p＜0，m﹣x1＞0，m﹣x2≥0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
∴④符合题意，
故答案为③④．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，关键式要会利用对称轴的范围求2a与b的关系，能熟练运用根的判别式．
15．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 　　．

【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD＝CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．
【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵＝＝＝＝，
∴BD＝CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD＝BD＝CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴＝＝，
∴CK＝CD，
∴KD＝CD．
∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK＝∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，
又∵∠DKM＝∠3（对顶角）
∴∠DMK＝∠1，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN＝DG＝2FD．
∵点H为AC中点，AC＝4CM，
∴＝．
∵MN∥AD，
∴＝，即，
∴＝．
故答案为：．
方法二：
如右图，有已知易证△DFE≌△GFE，
故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，
所以∠3＝∠B，则可证△AGH∽△ADB
设AB＝5a，则AC＝4a，AH＝2a，
所以AG/AD＝AH/AB＝2/5，而 AD＝AG+GD，故GD/AD＝3/5，
所以AG：GD＝2：3，F是GD的中点，
所以AG：FD＝4：3．

【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．
16．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若＝，且AB＝10，则CB的长为　4　．

【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．
【解答】解：如图，∵＝，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C•A′A＝A′D′•A′B，
即A′C•2A′C＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，
∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4．
故答案是：4．

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答．
三．解答题（共8小题）
17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【分析】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可设a＝3k，b＝2k，c＝6k，则3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；

（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
即x的值为2．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
18．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．

【分析】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心．
（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
∵AB＝5，
∴AD＝3，
设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，
∴R2＝42+（R﹣3）2，
解得：R＝，
∴该轮的半径R为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小亮从A测温通道通过的概率是 　　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）小亮从A测温通道通过的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若，△EFC的面积是25，求△ABC的面积．

【分析】（1）由DE∥AC，EF∥AB，得∠DEB＝∠C，∠BDE＝∠A，∠A＝∠EFC，进而证明△BDE∽△EFC．
（2）由DE∥AC，得∠A＝∠EFC，∠B＝∠FEC，那么△ABC∽△FEC．根据相似三角形的性质，由，可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠DEB＝∠C，∠BDE＝∠A，∠A＝∠EFC．
∴∠BDE＝∠EFC．
∴△BDE∽△EFC．
（2）∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EFC，∠B＝∠FEC．
∴△ABC∽△FEC．
∵，
∴．
∴＝．
∴．
∵△EFC的面积是25，
∴S△ABC＝64．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质以及相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．
21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；
（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
22．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数表达式；
②未来两年内，当月销售量P为　23　时，月毛利润为w达到最大．

【分析】（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t+2；
（2）直接利用每件利润×总销量＝总利润，进而得出代数式求出即可．
【解答】解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，
将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，
解得：，
∴当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式为：P＝t+2；

（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240；
当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；
当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；
综上所述，w关于t的函数解析式为：w＝，
②当0＜t≤8时，w＝240；
当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，
∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，
当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，
当t＝21时，w取得最大值529，
∵529＞448＞240
∴t＝21时，w取得最大值
此时P＝t+2＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝+6与x轴、y轴的交点．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC．
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

【分析】（1）先求点A、B的坐标，求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC＝90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．
【解答】解：（1）∵点A、B分别为直线y＝+6与x轴、y轴的交点，
∴A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝，
∴，sin．
∵AC为⊙P的直径，
∴△ACD为直角三角形．
∴AD＝AC•cos∠BAO＝2t×．
当点Q与点D重合时，OQ+AD＝OA，
即：t+，解得：t＝．
∴t＝时，点Q与点D重合．
（2）在Rt△ACD中，CD＝AC•sin∠BAO＝2t×．
①当0＜t≤，DQ＝OA﹣OQ﹣AD＝8﹣t﹣．
∴S＝＝＝﹣．
∵，
∴当t＝时，S有最大值为；
②当时，DQ＝OQ+AD﹣AO＝t+．
∴＝．
∵，
∴所以S随t的增大而增大，
∴当t＝5时，S有最大值为15，又15，
综上所述，S的最大值为15．
（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，
∵∠BAO＝∠QAC，∠AOB＝∠ACQ＝90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴，
即，解得t＝．
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0或．
【点评】本题考查了圆的综合题，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．
24．我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形．　是　（填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值．

【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC＝6，可得AD＝AC＝3，进而得到AD＝BC＝3，即△ABC是“等高底”三角形．
（2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD＝BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，点B是△AA′C的重心，即可得到BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理得AC＝x，即可得到＝＝．
（3）①当AB＝BC时，画出图形分两种情况分别求得CD＝x＝或CD＝AC＝2；当AC＝BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD＝AB＝BC＝2．
【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形．
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，

∵∠ACB＝30°，AC＝6，
∴AD＝AC＝3，
∴AD＝BC＝3，
即△ABC是“等高底”三角形．
故答案为：是．

（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴AD＝BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点B是△AA′C的重心，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，
由勾股定理得AC＝x，
∴＝＝．

（3）①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴＝＝，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2，
∴x＝，CD＝x＝．
Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝2．
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，

∴AC＝BC＝AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为或2或2．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．