数学人教版新课标A1.3 空间几何体的表面积与体积教学设计

数学必修2：                          教学设计28

一、内容及解析

这节内容主要讲叙的是球的体积与表面积公式，课本中没有给予证明。教学中可以采用教科书的方法直接给出公式也可以采用课本第30页探究与发现的中介绍的原理推导出公式

二、教学目的

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

三、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

四、        教学过程

一、创设情景，引入新课：

提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

二、探究新知：

1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。

构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)

2. 探究球的表面积公式：

设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:

，

又∵，且

∴可得，

又∵，∴，

∴即为球的表面积公式

三、例题示范,巩固新知：

例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积

解：设截面圆心为，连结，设球半径为，

则，

在中，，

∴，∴，

∴．

例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积

解：作轴截面如图所示，

，，

设球半径为，

则   

∴，

∴，．

例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积

解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，

则作轴截面如图，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴．

例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.

求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的；

(2)    球的表面积等于圆柱的侧面积。

四．      小结归纳 ：

球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．

五、目标检测

1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的      倍；

 2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加      倍；

3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是       ；

4.正方体全面积是，它的外接球的体积是    ，内切球的体积是      ．

六、课后反思