2020-2021学年1.3 空间几何体的表面积与体积教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.

教师设问，学生回忆

师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.

复习巩固

点出主题

探索新知

柱体、锥体、台体的体积

1．柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)

V锥体 =(S是底面积，h为锥体高)

V台体 =(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)

2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？

生：V = Sh (S为底面面积，h为高)

师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)

师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)

师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.

生：锥体体积同底等高的柱体体积的.

师：台体的结构特征是什么？

生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.

师：台体的体积大家可以怎样求？

生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.

师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式

V =

其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)

师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？

生：令S′=0，得到锥体体积公式.

令S′=S，得到柱体体积公式.

柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.

因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.

培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.

典例分析

例1  有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？

解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即

≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)

所以螺帽的个数为

5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)

答：这堆螺帽大约有252个.

师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？

生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.

学生分析，教师板书过程.

师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.

空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.

典例分析

例2  已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.

【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，

∵S = S侧 + 2S底 = 2 +，∴.

∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=.

∴V = S底·h =

= 4·，

即圆柱的内接正四棱柱的体积为.

教师投影例2并读题

师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.

生：取内接正四棱柱的对角面.

师：有什么好处？

生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.

学生分析，教师板书过程.

师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.

旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.

随堂练习

1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.

答案：2325 cm2.

2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？

答案：.

学生独立完成

培养学生理解能力，空间想象能力.

归纳总结

1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.

2．简单组合体体积的计算.

3．等积变换

学生归纳，教师补充完善.

巩固所学，提高自我整合知识能力.

课后作业

1.3 第二课时 习案

学生独立完成

固化知识

提升能力