2020-2021学年1.3 空间几何体的表面积与体积教学设计

这是一份2020-2021学年1.3 空间几何体的表面积与体积教学设计，共13页。教案主要包含了空间几何体的表面积，柱锥台的体积公式，课堂小结，课后作业，解答题等内容，欢迎下载使用。
学员编号：                年    级：               课时数： 3   学员姓名：                辅导科目：             学科教师： 课    题空间几何体的表面积和体积授课日期及时段 教学目的（1）通过对柱、锥、台体、球的研究，了解柱、锥、台、球的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解柱体、锥体、台体、球的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。教学内容一、课前检测1．已知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm，则该圆锥的侧面积为_________．2．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为               ．3．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与  BM成60o角；④DM与NB垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是               ．4．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为          ．5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是              ．         二、知识梳理一、空间几何体的表面积问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。 2、正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。性质：（1）正棱锥的侧棱长相等。（2）侧棱和底面所成的角相等。棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。◆S正棱锥侧＝ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）3、正棱台定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。侧面展开图是由各个侧面组成的。S正棱台侧＝　（c ＋ c’）h’（其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。 （二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。1、圆柱的侧面积◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 2、圆锥的侧面积◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是3、圆台的侧面积◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是 二、柱锥台的体积公式长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？ 1、祖暅原理两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。2、柱体的体积公式3、锥体的体积公式4、台体的体积计算公式◆柱体，锥体，台体之间的关系：5、球体的体积公式与表面积公式（1）利用祖暅原理可得（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面＝4πR2三、重难点突破             1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm）解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC＝ 2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）。解：V正四棱台＝V长方体＝6＝864V球 ＝V＝ V正四棱台 ＋ V长方体＋ V球 3、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与底边边长x的函数关系式.
　　　　　　　　　　　
　　解：如图，在中，，，
　　　　所以，.

　　4、有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等于5cm，求它的内径.(钢的密度为，精确到)
　　解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为
　　　　，
　　　　∴ ，
　　　　∴ ，
　　　　∴ 直径，即空心钢球的内径约为4.5cm.

　　5、表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.
　　解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，
　　　　，，
　　　　 又∵ ，∴，，
　　　　 ∴，∴，
　　　　 ∴
 四、课堂练习1.如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（    ）A．  B．  C．2S0＝S＋S′  D．S02＝2S′S2、已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（    ）A．32     B．28       C．24        D．20解析：1、解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；2、正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝，答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。3、一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）A．     B．          C．     D．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2，∴。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。4、如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=         。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。5、在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（    ）A．π     B．π   C．π     D．π6、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（    ）A．3π      B．3π      C．6π       D．9π解析：5、如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。∴，答案D。6、∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。7、如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（    ）A．            B．              C．     D．解析：如图所示，由题意知，πr2h＝πR2h，∴r＝．  又△ABO∽△CAO，∴，∴OA2＝r·R＝，∴cosθ＝，答案为D。点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。8、．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，五、课堂小结1.柱体的表面积和体积：柱体的表面积是侧面积与上、下底面面积之和.直棱柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；圆柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；
　　设柱体的底面周长为ｃ，高为，则侧面积为；；
　　柱体的体积为；
　　锥体的表面积和体积：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的，因此侧面积为各个三角形面积之和，所以表面积公式为；体积公式为；一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的底面半径为ｒ，高为，母线为，则圆锥的侧面积，圆锥的表面积；圆锥的体积为；
　　3.台体的表面积和体积：棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，因此侧面积为各个梯形面积之和，一个圆台的侧面展开图是一个扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积，所以它们的表面积为；圆台的上底面半径为，下底面半径为，则圆台的侧面积为，圆台的表面积为：
　　；
　　台体的体积为，其中为台体的上底面积，为台体的下底面积；
　　4.球体的表面积和体积：半径为的球体的表面积为，体积为；
　　若两个球体的半径为和，则球体的表面积之比为；体积之比为.
　　注：
　　1.圆锥的底面半径、高和母线的关系为；
　　2.解题时注意区分所求的是侧面积还是表面积；
　　3.认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类，是“棱”还是“圆”. 【方法指导】
1.柱体、锥体和台体的体积公式有何联系？
　　柱、锥、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体，因而体积会有以下的关系：
　　
　　2.圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式有何联系？
　　圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上、下底面全等的圆台，圆锥可以看作是上底面退化成一点的圆台，因而它们的侧面积有以下关系：
　　  六、课后作业  一、选择题    1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（    ）    A．0个    B．1个    C．2个    D．无数个    2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（    ）    A．45°    B．60°    C．90°    D．120°    3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（    ）    A．10cm            B．5cm    C．5cm    D．cm    4．中心角为π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（    ）    A．11∶8    B．3∶8    C．8∶3    D．13∶8    5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（a<b），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（    ）    A．3（b2－a2）    B．2（b2－a2）    C．（b2－a2）    D．（b2－a2）    6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（    ）    A．1∶2∶3    B．1∶3∶5    C．1∶2∶4    D．1∶3∶9    7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（    ）    A．3∶5       B．9∶25    C．5∶    D．7∶9    8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）    A．    B．    C．    D．    9．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（    ）    A．    B．    C．    D．    10．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（    ）    A．40    B．    C．    D．30    二、填空题    11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是______．    12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．    13．圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．    14．圆台的母线长是3 cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．    三、解答题    15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．    16．圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?    17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．   参考答案 一、选择题1．C  设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意2a2＋c2＝81①2a2＋4ac2＝144  即a2＋2ac2＝72②①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C．2．C  3．D  4．A  5．A  6．B  7．D8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr．∴＝＝＝＝．∴应选A．9．A10．B  可计算出直截面的周长为5＋，则S侧＝4（5＋）＝20（1＋）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□＋＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋）．二、填空题11．．设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，·h＝N，2（a＋b）h＝2·h＝·h＝．12．  13．；60°  14．cm；cm，cm三、解答题．15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点．则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC．在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝，A1D1＝．在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝（AD－A1D1）＝（a－x）．则D1D＝2ED＝（a－x），由题意S＝3·．即S＝（a2－x2）．解得x＝．16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，[来源:21世纪教育网]则＝，SO1＝·O1C＝，∴OO1＝SO－SO1＝12－，则圆柱的全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－）x＋2πx2＝2π（12x－）．当x＝cm时，S取到最大值cm2．17．如图扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最知路程，由已知SA＝SA′＝3r，θ＝360°＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝．