高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积教学设计

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知识拓展

利用体积法求简单多面体的内切球半径

    求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：

图8

    如图8，在三棱锥S—ABC中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA⊥面ABC，求三棱锥S—ABC的内切球的半径.

解：设内切球的球心为O，球的半径为r,则VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC.

又∵VO—SAB、VO—SAC、VO—SBC、VO—ABC的高都是r，SA⊥面ABC，

∴VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC

=(S△SAB+S△SAC+S△SBC+S△ABC)

=.

∴r=.

点评：若一个简单n面体有内切球，且简单n面体的各个面的面积分别为S1,S2,S3,…,Sn，简单n面体的体积为V，则此简单n面体的内切球的半径为r=.

用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.

（设计者：赵冠名）