人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积教学设计

1.3.2 球的体积和表面积

【教学目标】

（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】

重点：球的体积和面积公式的实际应用

难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】

一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？

球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2

    二、典例

例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）

 求空心钢球的体积 。

解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式

解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3)

由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm)

点评：初步应用球的体积公式

变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________()

例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。  （答案：2500π）

解析：利用轴截面解决

解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72

解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π

点评：数形结合解决实际问题

变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是           。 （答案50π）

【板书设计】

一、球的面积和体积公式

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】P30  1、2

1.3.2 球的体积和表面积

课前预习学案

一．          预习目标：记忆球的体积、表面积公式   

二．          预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来 表示球的体积和面积

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题

学习重点：球的体积和面积公式的实际应用

学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

二．学习过程：教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？

球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2

例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）

 求空心钢球的体积 。

变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________

例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 

变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是           。

课后练习与提高

一．选择题

1．      将气球的半径扩大1倍，它的体积增大到原来的（）倍

A2   B4   C8   D16

2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（    ）

A.16π              B.20π               C.24π                D.32π

3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（    ）

A.1倍              B.2倍               C.倍              D.倍.

二．填空题

4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.

5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________..

三．解答题

6. 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？

图5

参考答案

1.C  2.C  3.C  4. 27π   5.

6.解：因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π（cm3），

设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为=100πx（ cm3）.

所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（ cm）.

答：杯里的水下降了0.6 cm.