人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积导学案

这是一份人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积导学案，共5页。学案主要包含了课前准备，新课导学，总结提升等内容，欢迎下载使用。

学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处）
复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,
它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
新知：球的体积和表面积
球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：
球的体积公式
球的表面积公式
其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.
※ 典型例题
例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍?
变式：若三个球的表面积之比为﹕﹕，则它们的体积之比为多少?
例2 一种空心钢球的质量是142，外径是5.0，求它的内径. （钢密度7.9）
例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
变式：半径为的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为，则为多少?
小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.
※ 动手试试
练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
B
C
A
D
4
5
2
三、总结提升
※ 学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※ 知识拓展
极限的思想推导球的表面积公式过程：
如图,将球的表面分成个小球面，每个小球面的顶点与球心连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这个小棱锥的体积和，表面积是这个小球面的面积和.当越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果球的半径扩大倍，则球的表面积扩大（ ）.
A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍
2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为，球直径为，正方体的棱长为，则（ ）.
A. B.
C. D.
3. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）.
A.1:2:3 B.1:: C.1:: D.1:4:9
4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.
5. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的倍，则这个圆锥的高应为_______.
课后作业
1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
2. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?