人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积学案设计

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）

学习目标

1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P23~ P25，找出疑惑之处）

复习：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度____________.

引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？

结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.

试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？

探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.

（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.

试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？

新知3：设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

.

反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？

※ 典型例题

例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.

例2  如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?

※ 动手试试

练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.

练2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80、440，高(上下底面的距离)是200, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积

计算公式；

2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.

※ 知识拓展

当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（    ）.

  A.   B.   C.    D.

2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（    ）.

  A.  B. C.  D.

3. 一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（    ）.

A.   B.   C. D.

4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.

5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.

课后作业

1. 圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，求证：（度）.

2. 如图，在长方体中，，，，且，求沿着长方体表面到的最短路线长.