2021学年1.3 空间几何体的表面积与体积导学案及答案

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】

教学重点：运用公式解决问题

教学难点：理解计算公式的由来.

【教学过程】

（一）情景导入

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？

讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由                ，棱锥的侧面展开图是由            ，梭台的侧面展开图是由               ，圆柱的侧面展开图是               ，圆锥的侧面展开图是         ，圆台的侧面展开图是         。

2．几何体的表面积是指                 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求           、             ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求           、

              、          、          。

3．几何体的体积是指                             ，一个几何体的体积等于     。

（四）合作探究

面积探究:

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

体积探究:

讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

五）交流展示

略

（六）精讲精练

1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)

 2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其

中为圆锥底面半径，为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.

例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（  ）

A．  B．  C．  D．

分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

   →给出柱体体积计算公式： （S为底面面积，h为柱体的高）→

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

  →给出锥体的体积计算公式：  S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

   → 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：  （S，分别上、下底面积，h为高）

   → （r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：

例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（  ）

A．  B．  C．  D．

分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为

答案：A

变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（  ）

A．1  B．  C．  D．

活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。

分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为

答案：D

（七）反馈测评

1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（  ）

A．1:2  B．1:4  C．1:6  D．1:8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。

答案：B

【板书设计】

一、柱体、锥体、台体的表面积与体积

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

   【作业布置】

    导学案课后练习与提高

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

课前预习学案

一、预习目标

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

二、预习内容

1．棱柱的侧面展开图是由                ，棱锥的侧面展开图是由            ，梭台的侧面展开图是由               ，圆柱的侧面展开图是               ，圆锥的侧面展开图是         ，圆台的侧面展开图是         。

2．几何体的表面积是指                 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求           、             ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求           、

              、          、          。

3．几何体的体积是指                             ，一个几何体的体积等于     。

三、提出疑惑

1．利用斜二测画法叙述正确的是（  ）

1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（  ）

A．6   B．   C．3   D．

2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（  ）

A．2   B．   C．   D．8

3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S=         。

4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V=    。

课内探究学案

一、学习目标

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

学习重点：运用公式解决问题

学习难点：理解计算公式的由来.

二、学习过程

（一）台体、柱体面积问题探究:

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

（二）台体、柱体体积探究:

讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

方法：组内讨论,自我展示.

(二)精讲点拨、有效训练

1. 教学表面积计算公式的推导：

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其

中为圆锥底面半径，为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.

例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（  ）

A．  B．  C．  D．

2. 教学柱锥台的体积计算公式：

给出台体的体积公式：  （S，分别上、下底面积，h为高）

   → （r、R分别为圆台上底、下底半径）

探究：比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：

例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（  ）

A．  B．  C．  D．

变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（  ）

A．1  B．  C．  D．

三、反思总结

S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。

S=，S=.

四、当堂检测

1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（  ）

A．1:2  B．1:4  C．1:6  D．1:8

课后练习与提高

1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的

表面积为（  ）

A．  B．  C．  D．

2．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（  ）

A．   B．  

C．  D．

3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（  ）

A．  B．  

C．  D．

4．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的       倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的                            倍。

5．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是        。

6．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？

参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 4   16  5. S/2

6. 解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为

三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为

又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的