数学必修21.3 空间几何体的表面积与体积学案及答案

§1.3.1  柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

学习目标

1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P25~ P26，找出疑惑之处）

复习1：多面体的表面积就是___________________

加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,

___________，__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学

※ 探索新知

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）

锥体体积公式为：，（为底面积，为高）

台体体积公式为：

（，分别为上、下底面面积，为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※ 典型例题

例1 如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2  高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.

※ 动手试试

练1. 在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.

练2. 直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；

2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

※ 知识拓展

祖暅及祖暅原理

祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（    ）.

 A.6倍    B.9倍   C.12倍   D.16倍

2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（    ）.

A.   B.    C.     D.4

3. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（    ）.

A.   B.   C.  D.

4. 一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.

5. 已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

课后作业

1. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=