2021学年第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积综合训练题

课时作业(三十六)　[第36讲　空间几何体的表面积和体积]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．已知几何体的三视图如图K36－1所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．80＋7π  B．96＋7π

C．96＋8π  D．96＋9π

图K36－1

　　图K36－2

2．一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K36－2所示，则该空间几何体的体积是(　　)

A.  B.  C．14  D．7

3．[2011·开封模拟]  一个几何体按比例绘制的三视图如图K36－3所示(单位：m)，则该几何体的体积为(　　)

图K36－3

A．4 m3  B. m3  C．3 m3  D. m3

4．某品牌香水瓶的三视图如图K36－4(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)

图K36－4

A. cm2  B. cm2

C. cm2  D. cm2

5．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图K36－5所示，则这个四棱锥的体积是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

图K36－5

　　　图K36－6

6．一个棱锥的三视图如图K36－6，则该棱锥的全面积为(　　)

A．48＋12  B．48＋24

C．36＋12  D．36＋24

7．[2010·安徽卷]  一个几何体的三视图如图K36－7，该几何体的表面积为(　　)

图K36－7

A．280  B．292  C．360  D．372

8．某三棱锥的侧视图和俯视图如图K36－8所示，则该三棱锥的体积为(　　)

图K36－8

A．4  B．8  C．12  D．24

9．如图K36－9(单位：cm)，将图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为(单位：cm3)(　　)

图K36－9

A．40π  B.  C．50π  D.

图K36－10

10．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图K36－10，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．

11．若某几何体的三视图(单位：cm)如图K36－11所示，则此几何体的体积是________ cm3.

图K36－11

12．表面积为定值S的正四棱柱体积的最大值为________．

13．在三棱柱ABC－A′B′C′中，点P，Q分别在棱BB′，CC′上，且BP＝2PB′，CQ＝3QC′，若三棱柱的体积为V，则四棱锥A－BPQC的体积是________．

14．(10分)如图K36－12所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，分别求出所得几何体的表面积．

图K36－12

15．(13分)已知某几何体的俯视图是如图K36－13所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

图K36－13

16．(12分)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．

图K36－14

课时作业(三十六)

【基础热身】

1．C　[解析] 这个空间几何体上半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，下半部分是棱长为4的正方体，故其全面积是2π×1×4＋π×12＋6×4×4－π×12＝96＋8π.故选C.

2．A　[解析] 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝(12＋＋22)×2＝.

3．C　[解析] 根据视图还原几何体．这个空间几何体的直观图如下，其体积是3 m3.

4．C　[解析] 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋.

【能力提升】

5．B　[解析] 这个四棱锥的高是＝3，底面积是×＝2，故其体积为×2×3＝2.故选B.

6．A　[解析] 根据给出的三视图，这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中PD⊥平面ABC，D为BC中点，AB⊥AC，过D作ED⊥AB于E，连接PE，由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，PE即为△PAB的底边AB上的高．在Rt△PDE中，PE＝5，侧面PAB，PAC面积相等，故这个三棱锥的全面积是2××6×5＋×6×6＋×6×4＝48＋12.

7．C　[解析] 由题中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别是8,10,2的长方体，上面竖着的是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S＝2(8×10＋8×2＋10×2)＋2(6×8＋2×8)＝360.

8．A　[解析] 根据三视图可知，在这个三棱锥中其侧视图的高就是三棱锥的高、俯视图的面积就是三棱锥的底面积，其中俯视图的宽度和侧视图的宽度相等，所以侧视图的底边长是2，由此得侧视图的高为2，此即为三棱锥的高；俯视图的面积为6，此即为三棱锥的底面积．所以所求的三棱锥的体积是×6×2＝4.

9．B　[解析] 由图中数据，根据圆台和球的体积公式得

V圆台＝×[π×22＋＋π×52]＝52π，V半球＝π×23×＝π.

所以，旋转体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．

10.　[解析] 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成如图所示的圆柱，这个圆柱的高是3，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是×π×12×3＝.

11．144　[解析] 该空间几何体为一四棱柱和一四棱台组成的，四棱柱的长宽都为4，高为2，体积为4×4×2＝32，四棱台的上下底面分别为边长为4和8的正方形，高为3，所以体积为×3×(42＋＋82)＝112，所以该几何体的体积为32＋112＝144.

12.　[解析] 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则该正四棱柱的表面积为2a2＋4ah＝S，即h＝，体积为V＝a2h＝a(S－2a2)＝(Sa－2a3)，

则V′＝(S－6a2)．

令V′＝0得a＝，且当0<a<时，V′>0，当a>时，V′<0，故当a＝＝时，V取极大值，由于这个极值唯一故也是最大值，此时h＝＝＝，体积的最大值是.

13.V　[解析] 四棱锥A－BPQC与四棱锥A－BB′C′C具有相同的高，故其体积之比等于其底面积之比，由BP＝2PB′，CQ＝3QC′得BP＝BB′，CQ＝CC′，设平行四边形BB′C′C的高为h，则其面积S＝CC′·h，

则梯形BPQC的面积等于·h＝CC′·h＝S，故VA－BPQC＝VA－BB′C′C.

而VA－BB′C′C＝V－VA－A′B′C′＝V－V＝V，故VA－BPQC＝×V＝V.

14．[解答] 绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为3的圆锥，如图(1)，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和．

圆台的母线长是，圆锥的母线长是3，

故其表面积S1＝π·22＋π(2＋3)·＋π·3·3＝(4＋5＋9)π.

绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图(2)，此时大圆锥的底面半径为3，母线长为3，小圆锥的底面半径为3，母线长为，这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，

故S2＝π·3·3＋π·3·＝(9＋3)π.

15．[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．

(1)V＝×(8×6)×4＝64.

(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，

另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，且AB边上的高为h2＝＝5，

因此S＝2

＝40＋24.

【难点突破】

16．[解答] 过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE.因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形△ABC的重心，据此及底面边长为2，即可算出DE＝AE＝××2＝，

PE＝＝，

由△POF∽△PED，知＝，

∴＝，∴r＝－2.

∴S表＝S侧＋S底＝3××2×＋×(2)2＝9＋6.