高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积当堂检测题

单元质量评估(一)

第一章

(120分钟  150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列说法中正确的是　(　　)

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

2.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括　(　　)

A.一个圆台、两个圆锥   B.一个圆台、一个圆柱

C.两个圆台、一个圆柱   D.一个圆柱、两个圆锥

3.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的　(　　)

A.倍   B.2倍   C.倍   D.倍

4.已知某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是　(　　)

A.长方体      B.圆柱

C.四棱锥      D.四棱台

5.(2013·潍坊高一检测)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的　(　　)

A.    B.    C.    D.

6.圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩小到原来的,则圆锥的体积　(　　)

A.缩小到原来的一半   B.扩大到原来的2倍

C.不变       D.缩小到原来的

7.(2013·泉州高一检测)一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是　(　　)

A.8πcm2       B.12πcm2

C.16πcm2       D.20πcm2

8.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为　(　　)

A.7    B.6    C.5    D.3

9.(2013·济南高一检测)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为　(　　)

A.,1       B.,1

C.,       D.,

10.(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为　(　　)

A.24    B.80    C.64    D.240

11.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1,S2,S3,则　(　　)

A.S1<S2<S3       B.S1>S2>S3

C.S2<S1<S3       D.S2>S1>S3

12.正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的　(　　)

A.     B.     C.     D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)

13.(2013·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为　　　　.

14.(2013·北京高一检测)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为　　　　.

15.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为　　　　.

16.(2013·皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是　　　　.

三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)画出图中两个几何体的三视图.

18.(12分)如图,在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水,固定容器的一边将其倾倒,随着容器的倾斜度不同,水的各个表面的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律(不少于3种).

19.(12分)如图所示是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限).

20.(12分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为2m,四棱锥的高为m,制造这个塔顶需要多少铁板?

21.(12分)如图,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.

22.(12分)(能力挑战题)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.

答案解析

1.【解析】选B.棱柱的侧面必须是平行四边形,侧棱长相等,但底面只需为多边形,且边长也不一定与侧棱长相等,故A,D不正确;球的表面不能展成平面图形,故C不正确.

2.【解析】选D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,会得到一个圆柱、两个圆锥.

3.【解析】选C.设△ABC的边AB上的高为CD,以D为原点,DA所在直线为x轴建系,由斜二测画法规则作出直观图△A1B1C1,则A1B1=AB,C1D1=CD.S△ABC=AB×CD,=A1B1×C1D1×sin45°=AB×CD×=S△ABC.

4.【解析】选A.该几何体是长方体,如图所示.

5.【解析】选A.设球半径为R,截面圆半径为r.()2+r2=R2,r2=R2,==.

6.【解析】选A.V=π(r)2×2h=πr2h

=×πr2h.

7.【解析】选B.体积为8cm3的正方体的棱长为2cm,所以球的半径为cm,表面积为12πcm2.

8.【解析】选A.设圆台较小底面圆的半径为r,由题意,另一底面圆的半径R=3r.

所以S侧=π(r+R)l=4πr×3=84π,解得r=7.

9.【解析】选C.设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,V圆柱=πR2×2R=

2πR3,V球=πR3,==,S圆柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,S球=4πR2.

所以==.

10.【解析】选B.该几何体是一个四棱锥,高等于5,底面是长、宽分别为8,6的矩形,则底面积为48,则该几何体的体积V=Sh=×48×5=80.

11.【解析】选A.设底面积为S,由截面性质可知,

=()2,S1=S;=,S2=S;()3=,S3=S,可知:S1<S2<S3.

【拓展提升】用平行于底面的平面截棱锥所得截面的性质

截得面积之比就是对应高之比的平方,截得体积之比,就是对应高之比的立方,所谓“高”,是指大棱锥、小棱锥的高,而不是两部分几何体的高.

12.【解题指南】正四面体的内切球球心到一个面的距离即球的半径r,通过连接球心与正四面体的四个顶点,把正四面体分成四个高为r的三棱锥.

【解析】选C.正四面体的内切球球心到一个面的距离即球的半径r,连接球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥,所以4×Sr=Sh,r=h.

(其中S为正四面体一个面的面积,h为正四面体的高)

13.【解析】因为球的体积为πR3=,所以R=,又由球的直径与其内接正方体的体对角线相等知,正方体的体对角线长为3,故其棱长为.

答案:

14.【解析】该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱,如图所示,底面是梯形ABCD,高h=6,

V=Sh=[(2+4)×2]×6=36.

答案:36

【误区警示】该题由三视图没有还原得到底面是直角梯形的直四棱柱从而导致失误.

15.【解析】画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,设小圆锥的母线长为l,=得l=20,所以扇形圆心角α==,最短长度

B′M===50(cm).

答案:50cm

【变式备选】圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为　　　　.

【解析】圆柱的侧面积为4π×6π=24π2.

(1)以边长为6π的边为圆周长时,6π=2πr,r=3,底面面积πr2=9π,所以表面积为24π2+18π.

(2)以4π所在边为圆柱底面圆周长,2πr=4π,r=2,底面面积πr2=4π,所以表面积为24π2+8π.

答案:24π2+18π或24π2+8π

16.【解析】此几何体是半个圆锥,直观图如图所示,

先求出圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=π×2×2=4π,S底=π×22=4π,S△SAB=×4×2=4,故其表面积为+4=(2+2)π+4.

答案:[(2+2)π+4](cm2)

17.【解析】(1)如图

(2)如图

18.【解析】(1)水面是矩形.

(2)四个侧面中,一组对面是直角梯形,另一组对面是矩形.

(3)形状为直角梯形(如ABDC)的两个侧面的面积是不变的;这两个直角梯形全等.

(4)侧面积不变.

(5)在侧面中,两组对面的面积之和相等.

19.【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱台.

画法:(1)如图①所示,作出俯视图中同心的两个正三角形的直观图.

(2)建立z′轴,把里面的正三角形向上平移高的大小.

(3)连接两正三角形相应顶点,并擦去辅助线,被遮的线段用虚线表示,如图②所示,即得到要画的正三棱台.

20.【解析】如图所示,连接AC,BD,交点为O,连接SO.作SP⊥AB,连接OP.

在Rt△SOP中,SO=m,OP=BC=1m,

所以SP=2m,则△SAB的面积是×2×2=2(m2).

所以四棱锥的侧面积是4×2=8(m2),

即制造这个塔顶需要8m2铁板.

【变式备选】一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积.

【解析】由三视图知正三棱柱的高为2cm,由侧视图知正三棱柱的底面三角形的高为2cm.

设底面边长为acm,则a=2,所以a=4,所以正三棱柱的表面积S=S侧+2S底=3×4×2+2××4×2=(24+8)(cm2).

21.【解题指南】作出截面图,利用比例关系求出圆柱的底面半径.

【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h=.

圆锥的高H==2,所以h=H,

所以=,所以r=1.

所以圆柱的表面积S=2S底+S侧=2πr2+2πrh=2π+2π×=2(1+)π.

22.【解题指南】图中阴影部分绕AB旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去半个球.

【解析】由题意知,所成几何体的表面积等于圆台下底面面积+圆台的侧面积+半球面面积.

又S半球面=×4π×22=8π(cm2),

S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),

S圆台下底=π×52=25π(cm2),

所以表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).

又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),

V半球=××23=(cm3),

所以该几何体的体积为V圆台-V半球=cm3.