高中数学人教版新课标A必修21.2 空间几何体的三视图和直观图测试题

这是一份高中数学人教版新课标A必修21.2 空间几何体的三视图和直观图测试题，共7页。

[时间：45分钟 分值：100分]
eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．有一个几何体的三视图如图K36－1所示，这个几何体应是一个 ( )
图K36－1
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对
2．如图K36－2所示几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
图K36－2
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．一个几何体的正视图和侧视图如图K36－3所示，其中正视图的底边长为1，侧视图的底边长为3、高为2，则这个空间几何体俯视图的面积是( )
A．2 B．3 C.eq \f(7,2) D．4
图K36－3
4．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图K36－4，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
图K36－4
图K36－5
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．将正三棱柱截去三个角(如图K36－6①所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如图K36－6②，则该几何体按图②所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
图K36－6
图K36－7
6．[2011·浙江卷] 若某几何体的三视图如图K36－8所示，则这个几何体的直观图可以是( )
图K36－8
图K36－9
7．[2011·江西卷] 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图K36－10所示，则该几何体的侧视图为( )
图K36－10
图K36－11
8．某几何体的三视图如图K36－12所示，那么这个几何体是( )
图K36－12
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
9．某几何体的一条棱长为m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq \r(7)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为eq \r(6)和eq \r(5)的线段，则m的值为( )
A．3 B．2eq \r(3) C．4 D．2eq \r(5)
10．如果一个几何体的三视图如图K36－13所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________．
图K36－13
11．[2011·潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．
12．[2011·惠州模拟] 已知一几何体的三视图如图K36－14，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是直角三角形的四面体．
图K36－14
13．一个几何体的正视图和侧视图如图K36－15所示，其中正视图的底边长为1，侧视图的底边长为3、高为2，则这个空间几何体俯视图的面积是________．
图K36－15
14．(10分)已知，如图K36－16是一个空间几何体的三视图．
(1)该空间几何体是如何构成的？
(2)画出该几何体的直观图；
(3)求该几何体的表面积和体积．
图K36－16
15．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图K36－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每1 m2菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精确到1元)
图K36－17
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
16．(12分)一个几何体的三视图如图K36－18所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；
(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
图K36－18
课时作业 (三十六)
【基础热身】
1．A [解析] 根据三视图，这个空间几何体是棱台．
2．D [解析] 正方体的三个视图都相同，而三棱台的三个视图各不相同，正确答案为D.
3．B [解析] 这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱，其俯视图如图，俯视图是一个边长分别为1,3的矩形，故其面积为3.
4．C [解析] 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合这些可知，这个空间几何体的正视图可能是C.
【能力提升】
5．A [解析] 截前的侧视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的．
6．B [解析] 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.
7．D [解析] 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合．
8．B [解析] 由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.
9．A [解析] 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．
如图，设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意得
eq \r(a2＋c2)＝eq \r(7)，eq \r(b2＋c2)＝eq \r(6)，eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)
⇒a2＋b2＋c2＝9，所以对角线的长为eq \r(a2＋b2＋c2)＝3.
∴选A.
10.eq \f(3,2) [解析] 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝eq \r(3).由于三视图中“宽相等”，那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为eq \r(3)，则该几何体的侧视图的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(3)＝eq \f(3,2).
11．2eq \r(2)a2 [解析] 一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq \f(\r(2),4)S，而直观图面积S′＝a2.所以原平面四边形的面积为eq \f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq \r(2)a2.
12．①③④ [解析] 如图所示长方体为几何体的直观图．
当选择的四个点为A、B、C、D时，可知①正确；
当选择B、A、B1、C时，可知③正确；
当选择A、B、D、D1时，可知④正确．
13．3 [解析] 这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱，其俯视图如图．俯视图是一个边长分别为1,3的矩形，故其面积为3.
14．[解答] (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．
(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．
(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥P－A′B′C′D′构成的简单几何体．
由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，从而PQ＝eq \r(PO′2＋O′Q2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以该几何体表面积
S＝eq \f(1,2)(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝4eq \r(2)＋12.
体积V＝2×2×1＋eq \f(1,3)×2×2×1＝eq \f(16,3).
15．[解答] 在直观图中，过A′点作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′B′E中，A′B′＝1 m，∠A′B′E＝45°，∴B′E＝eq \f(\r(2),2) m.
而四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m，
∴B′C′＝B′E＋EC′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋1))m.
由此可还原图形，如图所示，在原图形中，AD＝1 m，AB＝2 m，BC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋1))m，且AD∥BC，AB⊥BC，
∴这块菜地的面积为
S＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·AB＝eq \f(1,2)×1＋1＋eq \f(\r(2),2)×2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(2),2)))(m2)，
所以这块菜地所产生的总的经济效益是300S≈300(2＋0.707)＝812.1≈812(元)．
【难点突破】
16．[解答] (1)该几何体的直观图如图(1)所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是V＝eq \f(1,3)×62×6＝72.
(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图(2)所示.
证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是
VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼图形成立．
(3)设B1E，BC的延长线交于点G，连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连接HB1，如图(2)，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成锐二面角或其补角的平面角.
在Rt△ABG中，AG＝eq \r(180)，则BH＝eq \f(6×12,\r(180))＝eq \f(12,\r(5))，B1H ＝ eq \r(BH2 ＋ BB\\al(2,1) ) ＝ eq \f(18,\r(5))，
cs∠B1HB＝eq \f(HB,HB1)＝eq \f(2,3).
故平面AB1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值为eq \f(2,3).