【新教材精创】提升篇（2）-下学期高一数学复课开学摸底考试卷（人教A版 必修第二册）

绝密★启用前

2019-2020学年度第二学期期中考试试卷（提升卷）

考试时间：120分钟；考试总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

一、单选题（每题5分，总分60分.）

1．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】依题意得，所以.

2．已知平面向量,则向量(    )

A．平行于第一､三象限的角平分线 B．平行于y轴

C．平行于第二､四象限的角平分线 D．平行于x轴

【答案】B

【解析】由题：平面向量,

则向量，所以平行于y轴.

故选：B

3．若复数（i为虚数单位），则为（    ）

A． B．120° C．240° D．210°

【答案】C

【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，

且，

所以.

故选：C.

4．在△ABC中，角对边分别为．若，，则（  ）

A．         B．        C．         D．

【答案】C

【解析】根据正弦定理，，故选C．

5．已知， 是不共线的非零向量，则下列各式中与不共线的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】选项A中，，则与共线.不符合题意，排除选项A.

选项B中，，则与共线. 不符合题意，排除选项B.

选项C中，，则与共线. 不符合题意，排除选项C.

选项D中，假设与共线，则，为实数，则，

∴

∴，这样的不存在，因此假设不成立，所以与不共线.符合题意.

故选：D

6．已知平面向量， 夹角为，且， ，则与的夹角是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由题意可知： ，

则： ，

且： ，

设所求向量的夹角为 ，

有： ，则与的夹角是 .

本题选择A选项.

7．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．

∵2∈，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

故选B.

8．设为虚数单位，，则实数

A．2 B．1

C．0 D．−1

【答案】C

【解析】由，得，所以，故选C．

9．在中，,其面积，则夹角的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设| 与的夹角为

.

故选B．

10．在中,内角对的边分别为.若,则的取值范围为（   ）

A．                 B．                 C．                  D．

【答案】D

【解析】由正弦定理得,又由题意知,则,即.故选D.

11．在中，是的重心，且，其中，，分别是角，，的对边，则（      ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【解析】在中，是的重心，根据三角形重心性质有，

由题：，所以，

由余弦定理得，

在中，

故选：A

12．已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，，得，即点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，所以的最大值为，

故选:C.

第II卷（非选择题)

二、填空题（每题5分，总分20分.）

13．已知三点，，共线，则x为________.

【答案】

【解析】设，

所以

所以，

所以，，所以.

14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.

【答案】

【解析】由垂直可知=0,即,,,又因为 ,所以.填（或）.

15．_______________.

【答案】

【解析】

=

故答案为： .

16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．

【答案】

【解析】由及正弦定理可得，

所以由余弦定理的推论可得，因为，所以．

因为的面积为，所以，即，

所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，

此时，，所以△ABC是等边三角形，故的值最小时△ABC的周长为．

三、解答题（17题10分，18-22题各12分，总分70分.）

17．已知向量与的夹角为60°，||=1，||=2

（1）求（2﹣）•；

（2）求：|2+|．

【答案】（1）1；

（2）．

【解析】（1）

（2）=．

18．已知复数（其中是虚数单位，）.

（1）若复数是纯虚数，求的值；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）

，

若复数是纯虚数，则，所以.

（2）由（1）得，，

，

因为是开口向上的抛物线，有最小值；

所以.

19．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．

（1）用表，．

（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．

【答案】（1），；（2），证明见解析

【解析】（1）；

．

（2），证明如下：设，则，．

．

∴，∴．

20．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，（其中为原点）.已知点对应的复数，求和分别对应的复数.

【答案】，.

【解析】根据题意画出草图，如图所示.

由复数运算的几何意义知

，

.

21．在中，、、分别是角、、的对边，且.

（1）若，求；

（2），，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据余弦定理及，得，

，即，.

，，，即，；

（2），，，

，则，，即，

，的面积.

22．在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)

【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时

【解析】

设缉私艇追上走私船需t小时，

 则BD=10 t n mile  CD=t n mile

 ∵∠BAC=45°+75°=120°

 ∴在△ABC中，由余弦定理得

即　

由正弦定理得

∴　∠ABC=45°，

∴BC为东西走向

∴∠CBD=120°

　在△BCD中，由正弦定理得

∴　∠BCD=30°，∴　∠BDC=30°

∴

即　

∴　　（小时）

答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时.