【原创】（新教材）下学期高一第一次月考卷 数学（A卷）

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（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（    ）A．  B．C．  D．【答案】C【解析】由已知及图形得到，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误，故选C．2．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，故选D．3．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，作，，，延长OB至点C，使，以OA，OC为邻边作矩形OCDA，则，，即为与的夹角，，则向量在的方向上的投影为，故选A．4．设向量与的夹角为θ，，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，，解得，即，，所以，故选A．5．下列命题中，不正确的是（    ）A．若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角B．在中，若，则C．在中，若，则一定是直角三角形D．任何三角形的三边之比不可能是1：2：3【答案】B【解析】对于A：由余弦定理可得，又，所以，所以角C是锐角，故A正确；对于B：由余弦定理可得，又，所以，所以角A是锐角，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；对于D：若三角形三边之比是1：2：3，不妨设三边为a，2a，3a，则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1：2：3，故D正确，故选B．6．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由题得，，由题知，故，解得或，故选C．7．已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，两边平方，得，即，整理得，所以或，因为，所以，所以，所以，故选B．8．在中，设，那么动点M的轨迹必通过的（    ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】设BC的中点是O，，即，所以，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过的外心，故选C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有（    ）A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内【答案】BC【解析】因为，若λ+μ=1且λ>0，则，故，即，又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ=1且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ>1，，同上可得，当时，，根据向量加法的平行四边形法则可以看出，点P在△OBC外，C正确；若，不妨令，，则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误，故选BC．10．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，整理可得，可得，为三角形内角，，，故A正确，B错误；，，，，，解得，由余弦定理得，解得，故C错误，D正确，故选AD．11．有下列说法其中正确的说法为（    ）A．若，，则B．若，，分别表示，的面积，则C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若，则存在唯一实数使得【答案】BC【解析】A选项错误，例如，推不出；B选项，设AC的中点为M，BC的中点为D，因为，所以，即，所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确；C选项，两边平方可得，所以，即夹角为，结论正确；D选项错误，例如，故选BC．12．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）A．是等边三角形B．若，则，，，四点共圆C．四边形面积最大值为D．四边形面积最小值为【答案】AC【解析】由正弦定理，，，得，，，，B是等腰的底角，，，是等边三角形，A正确；B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确，知，，但由于，，时，，∴B不正确；C正确，D不正确，设，则，，，，，，，∴C正确，D不正确，故选AC． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，不共线，实数x，y满足，则_____．【答案】3【解析】∵，不共线，且，∴，解得，∴，故答案为3．14．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min．【答案】3【解析】∵，，，∴．∴所需时间，∴该船到达B处所需的时间为3min，故答案为3．15．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以．当，即时，，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得．所以的取值范围是，故答案为．16．已知平面向量满足，，，则的取值范围是_________；已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是__________．【答案】，【解析】（1）由，，解得，又由，代入已知值可得，化简可得，解得．（2）因为是单位向量，且，设，，设，则，，因为，即，化简得，所以表示线段上的点到点的距离，所以；，故答案为，． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设，是不共线的非零向量，且，．（1）证明：，可以作为一组基底；（2）以，为基底，求向量的分解式；（3）若，求λ，μ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：若，共线，则存在λ∈R，使，则，由，不共线得，所以λ不存在，故平面向量，不共线，可以作为一组基底．（2）解：设(m，n∈R)，得：，因为，，是不共线的非零向量，所以，所以．（3）解：由得：，又，是不共线的非零向量，所以，故所求λ，μ的值分别为3和1．18．（12分）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，，求；（2）若，求b的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意得，，得，又，所以，由余弦定理得，得，而，解得，故为等边三角形，所以．（2）依题意，由正弦定理得，则，由于是锐角三角形，则，，，得，则b的取值范围为．19．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，，．（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，由正弦定理得，因为，所以，得，又，故，∴外接圆的半径，∴外接圆的面积为．（2）由及，得，，∵，则为锐角，∴，故．如图所示，在中，由余弦定理得，，解得，则的周长为．20．（12分）已知O是所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，的面积为2，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）面积为12．【解析】（1）∵D为BC边中点，∴，∴由，得，∴．（2）如图，根据条件：，∴，∴，又，∴，所以，即的面积为12．21．（12分）如图，在四边形中，，，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）12．【解析】（1）在中，，，利用正弦定理得，，又为钝角，为锐角，．（2）在中，由余弦定理得，解得或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，即，整理得，又，，利用基本不等式得，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为12．22．（12分）在中，．（1）当时，求的最大值；（2）当时，求周长的最小值．【答案】（1）；（2）12．【解析】（1）由题意，，，由余弦定理可得，，，的最大值为．（2），，又，，，，周长为，当且仅当时，周长的最小值为12．