高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系测试题

课时作业(三十七)　[第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．下面列举的图形一定是平面图形的是(　　)

A．有一个角是直角的四边形

B．有两个角是直角的四边形

C．有三个角是直角的四边形

D．有四个角是直角的四边形

2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为(　　)

A．5部分  B．6部分

C．7部分  D．8部分

3．[2011·浙江卷] 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

4．[2011·江西重点中学模拟]  已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

5．四面体S－ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于(　　)

图K37－1

A．90°  B．60° 

C．45°  D．30°

6．[2011·湖北重点中学二联]  正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

7．[2011·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

8．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有(　　)

①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

9．[2010·江西卷]  如图K37－2，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)

图K37－2

A．1条  B．2条  C．3条  D．4条

10．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．

图K37－3

11．[2011·银川一中五测]  如图K37－3，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．

12．以下四个命题中，正确命题的序号是________．

①不共面的四点中，任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

13．下列命题中正确的是________(填序号)．

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；

②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；

③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．

14．(10分)如图K37－4，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

图K37－4

15．(13分)已知：如图K37－5，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝λ，＝＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE、GH与AC的位置关系．

图K37－5

16．(12分)已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，求证：ABCD是矩形．

课时作业(三十七)

【基础热身】

1．D　[解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．

2．C　[解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．

3．B　[解析] 在α内存在直线与l相交，所以A不正确；若α内存在直线与l平行，又∵l⊄α，则有l∥α，与题设相矛盾，∴B正确，C不正确；在α内不过l与α交点的直线与l异面，D不正确．

4．C　[解析] 若c与a，b都不相交，则与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．

【能力提升】

5．C　[解析] 取SB的中点G，连接GE，GF，则GE＝GF＝，∠EFG为异面直线EF与SA所成的角，EF＝a，在△EFG中，∠EFG＝45°.

6．B　[解析] 如图，取CD的中点N，连接BN，D1N，则BN∥DM，∠D1BN就是直线DM与D1B所成角，设正方体棱长为1，在△D1BN中，BD1＝，BN＝D1N＝，由余弦定理得cos∠D1BN＝＝.

7．B　[解析] 对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.

8．D　[解析] (1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱AA1，AB，CD1)，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱AA1，BC，D1C1)，故结论④不正确．正确选项D.

9．D　[解析] 满足与线段AB，AD，AA1成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线AC1所在的直线．如图所示，将AD，AB，AA1所在的线段反向延长，则可得到三个正方体，在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与直线AB，AD，AA1所成角相等，故选D.

10．27　[解析] 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．

11.　[解析] 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.

12．①　[解析] 可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．

13．①②　[解析] 在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．

14．[解答] (1)取CD的中点G，连接MG，NG.因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，

所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，

所以MN＝＝.

(2)证明：假设直线ME与BN共面，

则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF，

所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．

所以ME与BN不共面，它们是异面直线．

15．[解答] ∵＝＝λ，＝＝μ，

∴EH∥BD，FG∥BD.

∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD，

①当λ＝μ时，HG∥AC，EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.

由公理4知，EF∥GH∥AC.

②当λ≠μ时，EH∥FG但EH≠FG，

∴四边形EFGH是梯形且EH、FG为上、下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，

∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．

又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，

∴三条直线EF、GH、AC交于一点．

综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；

当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．

【难点突破】

16．[解答] 证明：由已知，若证得四边形ABCD是平面图形，则四边形ABCD是矩形，

下面用反证法证明：A、B、C、D四点共面．

假设A、B、C、D四点不共面，又设B、C、D确定的平面为α，则A∉α.作AA1⊥α，垂足为A1，连接A1B、A1D，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA1＝∠CDA1＝90°，从而∠DA1B＝90°.

又A1B＜AB，A1D＜AD，A1B2＋A1D2＝BD2，

可得：BD2＜AB2＋AD2⇒∠DAB≠90°，这与∠DAB＝90°矛盾．

所以，A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD是矩形．