专题03 常用逻辑用语（1）（命题，充分条件与必要条件）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题03 常用逻辑用语（1）
命题，充分条件与必要条件


知识梳理
一、命题的概念
1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。
4、如果，并且，那么就说与等价，记作。
二、四种命题形式
1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 ，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作、。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:

6、常见结论的否定形式：（拓展内容）
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
没有
都是
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
小于或等于
至少有个
至多有-1个
小于
大于或等于
至多有个
至少有+1个
对所有的成立
存在不成立
或
非且非
对任何的不成立
存在成立
且
非或非

三、充要条件
1、充分条件与必要条件：
一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。
2、充要条件：
如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。

例题解析
一、有关命题的概念
【例1】判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵是个很大的数；⑶；⑷；⑸；
【难度】★
【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．

【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.
（1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（3）求证：，方程无实根.
（4）
（5）人类在2020年登上火星.
【难度】★
【答案】（1）是命题，且是真命题.
（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断.
（3）不是命题，是祈使句.
（4）是开语句，不是命题.
（5）是命题.但目前无法判断真假.

【例3】下面有四个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★
【答案】A
【解析】①假命题，如；②假命题，集合中最小的数是，如；③假命题，与集合元素的互异性矛盾．



【例4】下列判断中正确的是( ).
A. “12是偶数且是18的约数”是真命题 B. “方程没有实数根”是假命题
C. “存在实数x，使得且”是真命题 D. “三角形的三个内角的和大于或等于”是假命题
【难度】★★
【答案】C

【例5】对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”：
．给出下列三个命题：
①若点在线段上，则；
②在中，若，则；
③在中，．
其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★★
【答案】A
【解析】记三点的坐标分别为，
则，
当都分别在与之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定；
对于②，取，则②中等式左边，右边，故②假．


【巩固训练】
1、 判断命题真假：如果，那么 （ ）
【难度】★
【答案】真

2、 若和都是假命题，则的范围是__________
【难度】★★
【答案】
【解析】和都是假命题，则


3、已知
①
②
③
④
其中真命题的序号是
【难度】★★
【答案】③④
【解析】①反例：

4、下面有四个命题：①集合中最小的数是；②若不属于，则属于；③若则的最小值为；④的解可表示为.其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★
【答案】A
【解析】①假命题，集合中最小的数是；
②假命题，如；
③假命题，如；
④假命题，与集合元素的互异性矛盾.



二、命题的四种形式及其关系
【例6】命题“若，则”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
【难度】★★
【答案】逆命题：若，则 （假，如，）
否命题：若，则 （假，如，）
逆否命题：若，则 （真，∵）


【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______
【难度】★★
【答案】（3）
【例8】写出命题“若都是偶数，则是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.
【难度】★★
【答案】逆命题:若是偶数，则都是偶数，它是假命题;
否命题:若不都是偶数，则不是偶数，它是假命题;
逆否命题:若不是偶数，则不都是偶数，它是真命题.

【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若和都是偶数，则是偶数”；
⑶“当时，若，则”；
⑷“若，则且”；
【难度】★★
【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假）
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真）
⑵逆命题：若是偶数，则和都是偶数．（假）
否命题：若和不全是偶数，则不是偶数．（假）
逆否命题为：若不是偶数，则和不都是偶数．（真）
⑶分析：“当时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是，结论是．
逆命题：当时，若，则．（真）
否命题：当时，若，则．（真）
逆否命题：当时，若，则．（真）
⑷逆命题：若且，则．（真）
否命题：若，则或．（真）
逆否命题：若或，则．（假）


【例10】已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】由命题可以得到： ∴
由命题可以得到： ∴
因为有且仅有一个为真
当为真，为假时，
当为假，为真时，
所以，的取值范围为或．
【巩固训练】
1、有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.

2、原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）个．
A． 　B．　　 　C．　 　　D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】逆命题和否命题是真命题．

3、命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【难度】★★
【答案】D
4、有下列四个命题：①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【难度】★★
【答案】①②③
【解析】①、②显然正确；③当时，有，∴方程有实数根，即原命题为真，
∴它的逆否命题也为真；④则，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．
三、有关等价命题
【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ）
A、，，中至少有一个是正数 B、，，全不是负数
C、，，中只有一个是负数 D、，，中至少有一个是非负数
【难度】★
【答案】D

【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】D
【例14】命题：已知a，b为实数，若有非空解集，则。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？
【难度】★★
【答案】逆命题：已知a，b为实数，若，则有非空解集
否命题：已知a，b为实数，若没有非空解集，则
逆否命题：已知a，b为实数，若，则没有非空解集
通过原命题为真得出逆否命题为真，通过否命题为真的出你逆命题为真

【例15】下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
（1）方程的解是；
（2）是实数，，可以得到；
（3）对顶角相等．
【难度】★★
【答案】（1）原命题：若，则，是假命题；
逆命题：若，则，是真命题；
否命题：若，则，是真命题；
逆否命题：若，则，是假命题．
（2）原命题：已知是实数，若，则，是真命题；
逆命题：已知是实数，若，则，是假命题；
否命题：已知是实数，若，则，是假命题；
逆否命题：已知是实数，若，则，是真命题．
（3）原命题：若与是对顶角，则，是真命题；
逆命题：若，则与是对顶角，是假命题；
否命题：若与不是对顶角，则，是假命题；
逆否命题：若，则与不是对顶角，是真命题



【巩固训练】
1、下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“2
【难度】★★
【答案】D
四、充要条件的判定
【例16】对任意实数、、，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【难度】★
【答案】B
【解析】若A真，则，不成立；若C真，则，不成立；
若D真，则，在时有反例，故不成立；
答案为B，．

【例17】若“”和“”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“”是“”的（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【难度】★★【答案】B
【解析】记命题：，命题：，命题：，
则由已知条件得：，，，，要判断命题与的导出关系．
由知，从而；
若，则有，矛盾，故，
故是的充分不必要条件，故选B．
【例18】已知命题：；命题：函数的值恒为负．则命题是命题成立的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【难度】★★【答案】A
【解析】；
函数的值恒为负，不一定有，如时，函数的值恒为负．
【例19】已知集合，.
（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；
（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件；
（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件.
【难度】★★★
【答案】（1）（2）（3）
【解析】本例是典型的借助集合观点理解充要条件的题目，设实数的取值范围是Q，则的充要条件是Q＝；而的一个充分但不必要条件是Q为的一个真子集；的一个必要但不充分条件是求一个集合S，使得Q是S的真子集.
本题的（2）（3）小题的答案不唯一.如第（2）小题的答案还可以是－2,1，2,1，5等无数多个值；第（3）小题的答案还可以是，［－4,5］等.
（1）由 ，得，因此的充要条件是；
（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如取，此时必有；反之，未必有，故是所求的一个充分而不必要条件；
（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故是它的一个真子集。如果时，未必有，但是时，必有，故是所求的一个必要而不充分条件.




【巩固训练】
1、是方程至少有一个负数根的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】B
【解析】时，，且两根之积小于，从而方程至少有一个负根；方程有一个负根时，也满足，故为充分不必要条件．

2、若，, 的二次方程的一个根大于零,另一根小于零，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】A
【解析】，，可知方程的两根异号，条件充分；条件不必要，如时，方程一个根大于零,另一根小于零.

3、已知为实数，且．则“”是“”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【难度】★★【答案】B
【解析】推不出；但，故选择B．
五、充分条件、必要条件、充要条件的求解与证明
【例20】已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】A
【解析】：，得；：．∴．


【例21】给出以下四个条件：①；②或；③；④且.其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是__________.
【难度】★★【答案】③④
【解析】①不充分，如；②既不充分，如；③、④充分而不必要，，但反之不成立，，但反之不成立.

【例22】已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是 （ ） A. B.
C. D.
【难度】★★★【答案】C
【解析】，∵时，必有，即， ∴，由此得.
【例23】已知命题：；：，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．
【难度】★★★【答案】
【解析】先明确和，再由，且，寻求应满足的等价条件组．
由得．
∴：或．
由，得．
∴：或．
因为是的必要非充分条件，且，∴．
∴ 即，
注意到当时，⑶中等号成立，而⑵中等号不成立．
∴的取值范围是．

【例24】已知，函数，
⑴当时，若对任意都有，证明：；
⑵当时，证明：对任意，的充要条件是；
⑶当时，讨论对任意，都有的充要条件．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】⑴∵，，
∴当时，有，
于是，对都有，∴
∵，∴．
⑵先证必要性：
∵，∴，，
∴．
再证充分性：
，又∵，∴，
∴，
且，
∴．
综上知，命题成立．
⑶当，，对任意都有，
其次，若对任意都有，则．
反之，若，∵，则对任意都有
．
综上所述，当，时，对任意都有的充要条件是．


【巩固训练】
1、可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是（ ）
A． B．或 C．且 D．
【难度】★
【答案】C

2、设是方程的两个实根，试分析是两根均大于的什么条件？
【难度】★★★
【答案】必要但不充分条件
【解析】根据韦达定理得．判定的条件是，结论是（注意中满足的前提是）．
⑴由，得，∴．
⑵为证明，可以举出反例：取，它满足，但不成立．
综上讨论可知是的必要但不充分条件．

3、求证：关于的方程有实数根，且两根均小于的一个充分条件是且．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】当且时，
由题设有：，所以原方程有实数根．
函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为，因此要证两根都小于，只需即可．而，因此方程的两根都小于．
故且是方程有实根且实根均小于的充分条件．

反思总结
命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位.历年高考命题中,充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点,虽然这一部分在课本中只占一小节内容,定义也很简单,但它涉及的知识面很广,几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念,有关充要条件问题的求解是解题的一个难点,解这类问题需熟练掌握条件的概念,理解其含义,结合题设条件正确地分清条件与结论.在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查．
课后练习
一、填空题：
1、设是方程的两实数根；，则是的_____________条件。
【难度】★
【答案】充分不必要

2、 是成立的_____________条件。
【难度】★★
【答案】充要
3、已知命题：“”
(1)该命题的一个充分非必要条件是___________;
【难度】★
【答案】
(2) 该命题的一个必要非充分条件是___________。
【难度】★【答案】;a,b中至少有一个小于0；

4、命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是 。
【难度】★★
【答案】两个全等三角形的面积相等

5、 “”是“”成立的 条件。
【难度】★★
【答案】必要不充分

6、 “”的 条件。
【难度】★★【答案】必要非充分

7、 定义：若对定义域上的任意实数都有，则称函数为上的零函数．根据以上定义，“是上的零函数或是上的零函数”为“与的积函数是上的零函数”的 条件．
【难度】★★★
【答案】充分非必要
二、选择题：
8、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的 ( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【难度】★【答案】A
9、若非空集合满足，且不是的子集，则 ( )
A. “”是“”的充分条件但不是必要条件
B. “”是“”的必要条件但不是充分条件
C. “”是“”的充要条件
D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件
【难度】★★【答案】B

10、命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）
A．若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确
C. 若正确，则不正确 D. 若正确，则正确
【难度】★【答案】D
11、设全集为，有以下四个命题：
(1) (2) (3) (4)
其中是命题的充要条件的有______个。 ( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【难度】★★
【答案】C

12、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】A

13、若函数、的定义域都是R，则成立的充要条件是（ ）
A、有一个，使 B、有无数多个，使
C、对R中任意的，使 D、R中不存在使
【难度】★★
【答案】D



14、下列命题中正确的是（ ）
①“若，则不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若，则有实根”的逆否命题
④“若是有理数，则是无理数”的逆否命题
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
【难度】★★
【答案】B
【解析】①的否命题为：若，则，真命题；
②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题；
③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；
④中原命题是真命题，因为若是有理数，也为有理数，得为有理数，矛盾，故它是真命题，从而它的逆否命题也为真命题．
三、解答题：
15、（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；
（2）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0
【难度】★★
【答案】（1）p是q的充要条件
（2）p是q的充分不必要条件