专题01 集合初步（1）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

2020——2021学年（2020年新教材）高一数学秋季辅导讲义（沪教版）

专题01集合初步（1）

知识梳理

一、集合的概念及其集合表示方法

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

（3）表示方法：

1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

格式：{x| x满足性质p}。如：集合

（4）分类：

1）有限集：含有有限个元素的集合。

2）无限集：含有无限个元素的集合。

3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作。

注意：{0}和是不同的。 {0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

（5）性质：

1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2）互异性：集合中的元素没有重复。

3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

（6）常用数集及记法：

1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，

2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+  

3）整数集：全体整数的集合记作Z ,

4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

5）实数集：全体实数的集合记作R

（7）元素对于集合的隶属关系

1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

二、集合之间的关系

1、子集：

定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。  即：

记作：；读作：A包含于B或B包含A；

注意:有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合

2、集合相等：

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

3、真子集：

定义：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集；

记作：AB或BA；读作：A真包含于B或B真包含A。

注意：

1）、空集是任何集合的子集；

2）、空集是任何非空集合的真子集；

3）、任何一个集合是它本身的子集

4）、子集的个数：

含n个素的集合的所有子集的个数是     ，所有真子集的个数是     ，非空真子集数为    。

 5）、易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系

如ΦR，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合

如{0}不能写成={0}，∈{0}

4、文氏图

用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图。下图表示的是的文氏图。

例题解析

一、集合及其表示方法

【例1】下列能构成集合的是：

（1）          所有的非负数；

（2）          与1接近的数；

（3）          七宝高一所有男生；

（4）          七宝高一所有个子高的男生；

【例2】设a，b是非零实数，那么可能取的值组成集合是______.

【例3】X由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（    ）

    （A）2个元素  （B）3个元素  （C）4个元素  （D）5个元素

【例4】方程组的解的集合是（    ）

 A．   B．   C．  D．

【例5】设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉B，求a的值．

【例6】已知集合各元素之和等于3，则实数的值为______．

【例7】已知集合A={}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．

【例8】，，则     M，     M．

【例9】设若,求的值．

【例10】已知集合

（1）       当只有一个元素时，求的值，并求出这个元素

（2）       当至多含有一个元素时，求的取值范围．

【例11】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成区域（含边界），、、、是该圆的四等分点，若点、满足且，则称优于，如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧 （       ）

   A．        B．       C．       D．

【例12】直角坐标平面除去两点、可用集合表示为（   ）

A．   B．或

  C．或 D．

【巩固训练】

1．下列说法正确的是（    ）

（A）所有著名的作家可以形成一个集合  

（B）0与 的意义相同

（C）集合 是有限集 

（D）方程的解集只有一个元素

2．下列四个集合中，是空集的是   （    ）

 A．           B．

 C．             D．

3．方程组的解构成的集合是  （    ）

 A．       B．           C．（1，1）   D．.

4．已知，，则B＝          ．

5．若，，用列举法表示B=                ．

6．下面表示同一集合的是（    ）

 （A）M={（1，2）}，N={（2，1）}    （B）M={1，2}，N={（1，2）}

 （C）M=，N={}                 （D）M={x|,N={1}

7．1{a2−a−1, a, −1}, 则a的值是         ．

8．，，则的取值范围               ；

，，则=            ．

9．已知由实数组成的集合A，，又满足:若,则．

(1)设A中含有3个元素,且求A；

(2)A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由；

(3) A中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．

10．设集合，求证：

（1）奇数属于

（2）偶数不属于

（3）属于的两个整数，其积属于

二、集合间的关系

【例13】下列关系式①{0}= ②=0  ③{}④{}  ⑤{0} ⑥0 ⑦{0}  其中正确的个数（  ）

（A）4   （B）5   （C）6   （D）7

【例14】对于集合A,B,若BA不成立,则下列理解正确的是(    )

（A）集合B的任何一个元素都属于A  （B）集合B的任何一个元素都不属于A

（C）集合B中至少有一个元素属于A  （D）集合B中至少有一个元素不属于A

【例15】写出集合全部子集．

【例16】若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5 }，B={x|3≤x≤22}，则能使成立的所有a的集合是              （    ）

 A.{a|1≤a≤9}       B.{a|6≤a≤9}     C.{a|a≤9}         D.

【例17】若集合A={则能使成立的a的取值范围    ．

【例18】已知，，若，则_____________．

【例19】已知集合且,求实数的值．

【例20】设，若BA，求a的值．

【例21】已知集合，,,求的值．

【例22】满足条件的集合的个数是_____个．

【例23】设S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当xA时,若x+1A,且x−1A，则称x是A的一个孤立元素。那么S的4元子集中,不含孤立元素的子集共有      个

【例24】若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0,,，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为              （   ）

    A．15         B．16         C．28           D．25

【例25】已知，求证

【例26】若，集合，集合，

⑴求证：⑵当时，求集合；⑶为单元素集合时，求证：

【巩固训练】

1．已知集合A中有n个元素，则集合A的子集个数有     个，真子集有     个，非空真子集       个．

2．已知,,且,求实数的值.

3．以下六个关系式：，，, , ，是空集，错误的个数是                          （   ）

 A．4      B．3     C．2      D．1

4．，则集合的个数是_____个．

5．已知．

6．下列式子中，正确的是（    ）

A．                   B．

C．空集是任何集合的真子集    D．

7．已知，，,求的取值范围．

8．已知,则集合M与P的关系是  (  )

       A.M=P            B.         C.P      D.P 

9．已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．

10．A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围．

11．设集合求集合的所有非空子集元素和的和．

12．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是(    )

A．,    B．, 

C．,    D．,

13．设P是一个数集，且至少含两个数，若对任意，都有，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是                  ．(填序号)

反思总结

集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确.

用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像.

要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为，真子集个数为，非空真子集有.。

判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．

课后练习

1．如果，那么错误的结论是（　　）

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

2．下列四个命题中，其中正确命题的个数为（　　）

①与1非常接近的全体实数能构成集合；②表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；④任何一个非空集合必有两个以上的子集。

（A）0个　　　　　（B）1个　　　　　　（C）2个　　　　　（D）3个

3．下列各对象可以组成集合的是（   ）

（A）与1非常接近的全体实数

（B）某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生

（C）高一年级视力比较好的同学

（D）与无理数相差很小的全体实数

4．集合{,1,4,9,16,25}用描述法来表示为______________________.

5．下列四个集合中，是空集的是（    ）

A．   B．

C．     D．

6．下面有四个命题：

（1）集合中最小的数是；

（2）若不属于，则属于；

（3）若则的最小值为；

（4）的解可表示为；其中正确命题的个数为（    ）

 A．个   B．个   C．个   D．个

7．用符号“”或“”填空

（1）______,   ______,   ______

（2）

（3）________

8．下列命题正确的有（    ）

（1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合与集合是同一个集合；

（3）这些数组成的集合有个元素；

（4）集合是指第二和第四象限内的点集。

A．个   B．个   C．个   D．个

9．下列命题中正确的(　　)

①0与{0}表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；

③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；

④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．

A．只有①和④  B．只有②和③

C．只有②  D．以上语句都不对

10．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)

A．{1,1}  B．{1}   C．{x＝1}  D．{x2－2x＋1＝0}

11．已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有(　　)

A．－1∈A  B．0∈A

C.∈A  D．1∈A

12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)

A．0    B．2   C．3  D．6

13．集合是单元素集合，则实数       

14．满足的集合M共有           个。

15．定义集合运算：,,.设集合，则集合的所有元素之和为_______________

16．设，集合，，且A=B，求实数x，y 的值

17．集合A={x|ax−6=0},B={x|3x2−2x=0},且AB,则实数=   

18．已知集合、，若不是的子集，则下列命题中正确的是             （   ）

(A) 对任意的，都有；        (B) 对任意的，都有；

(C) 存在，满足，；      (D) 存在，满足，．

19．设集合，则       (A与B的包含关系)

20．设集合，求实数的值。

21．集合A＝，又，则有（　　）

（A）　　　　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　　　　　　（D）不属于A、B、C中任意一个

22．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．

(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．