专题07 不等式的求解（2）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题07 不等式的求解（2）
（分式不等式的求解，含绝对值不等式的求解）




知识梳理
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
1、分式不等式的解法
（1）进行同解变形：；
分式不等式转化为整式不等式来解．；
（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零．

2、含有绝对值不等式的解法
（1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）.
（2）的解集为；的解集为.
（3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法.
（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
3、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题.




例题解析
一、分式不等式
【例1】解下列分式不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【解析】（1）

（2）原不等式可化为，此不等式与同解，
由得或，所以原不等式的解集是．
（3）原不等式可化为，即．由于的判别式，故的值恒大于，于是原不等式与的解集相同．解得或．所以，原不等式的解集为．
（4）原不等式等价于∴原不等式的解为：．
【例2】不等式的解集是（ ）
Ａ、　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、
【难度】★【答案】C


【例3】若关于的不等式；
（1）当时，求它的解集；
（2）若，求不等式的解集．
【难度】★★【答案】（1）；
（2）时，；时，；时，

【例4】已知关于的不等式的解集是；
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）（2）
【解析】（1）略（2）∵,则5不满足不等式，
若，则，解得，因此时，，
又∵，同上解得.
∴综上可知实数a的取值范围是.
【例5】解关于x的不等式,其中|a|≠1．
【难度】★★
【答案】；．

【例6】若关于x的不等式的解集为，关于x的不等式的解集为________．
【难度】★★★
【答案】【提示】令x=－ 带入即可得到


【巩固训练】
1．解下列分式不等式：
(1); (2); (3); (4)．
【难度】★【答案】(1) (2) (3) (4)．
2．下列不等式中解集相同的一组是（ ）.
A、 B、
C、 D、
【难度】★【答案】C
3．不等式的解集为 （ ）
　　　　　　　 　
　　　　　
【难度】★【答案】D
4． 解关于x的不等式