专题08 基本不等式及其应用-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题08 基本不等式及其应用（平均值不等式及其应用，三角不等式） 知识梳理 一、基本不等式：若，，当且仅当a=b时取等号2.（1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有最小值；（2）“和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有最大值。3.若，          加权平均》算术平均》几何平均 二、平均值不等式：若a、b为正数，则，当且仅当时取等号变式：推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数，它们的关系是：，当且仅当时等号成立。  三、三角形不等式如果是实数，则注：当为复数或向量时结论也成立.推论1：推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 例题解析一、简单基本不等式问题【例1】条件“且”是结论“”成立的          条件。        【例2】已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。的最小值为        【例3】如果正数满足，那么（  ）（A），且等号成立时的取值唯一   （B）（B），且等号成立时的取值唯一（C），且等号成立时的取值不唯一 （D），且等号成立时的取值不唯一  【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（   ）A．a+b+≥2             B (a+b)( +)≥4       C ≥a+b                 D ≥ 【巩固训练】1、若x> -1则x取什么值时x+的值最小？最小值是多少？      2、若，，且，则在中最大的一个是_____________。 二、不等式的最值问题【例5】若，则的取值范围                      【例6】已知，且，则的最小值                     。  【例7】已知，且，则的最小值为            。       【例8】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是                 .    【例9】设a>b>0，求的最小值。             【例10】x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？        【例11】          【例12】已知？         【例13】函数最大值与最小值分别为                       。         【例14】         【例15】设都是正数，且使，求实数的最大值。          【例16】           【例17】已知，，求的最小值及相应的的值。         【例18】已知求最小值。       【巩固训练】1、已知，则的最大值为             ，此时             。 2、若，则实数的取值范围         。 3、已知      4、已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.      5、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.        三、基本不等式的应用【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为                       【例19】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润（单位：10万元）与运营年数为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。  【例20】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?              【例21】某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。设矩形温室的边长分别为，确定矩形温室的边长，使蔬菜的种植面积最大。            【巩固训练】1、今有一台坏天平,两臂长不等，左、右臂长分别是,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（）,若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（  ）A 。；   B 。 ；  C 。  ；   D。不能确定；   2、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？            3、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.       四、基本不等式的证明问题【例21】已知，由不等式，启发，可推广得不等式                           。   【例21】阅读以下证明：，当，按照上述方法，能证明关于的一个怎样的不等式；当，你能把上述结论推广到怎样的一个不等式。         【例22】若实数x、y、m满足|xm|﹥|ym|，则称x比y远离m．(1) 若x21比1远离0，求x的取值范围；    (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明： 比远离          【例23】              【例24】已知a＞0，b＞0，且a+b=1  (1)求证 (2)求证 (3)求证  (a+)(b+)≥       【巩固训练】1、         2、            3、              五、三角不等式例1、已知 ，求证     例2、已知 求证：。    例3  两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?    【巩固训练】 1、已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有(　　)A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为(　　)A．m>n   B．m<nC．m＝n D.m≤n3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是(　　)A．|a＋b|＞a－b   B．2≤|a＋b|C．|a＋b|<|a|＋|b|   D.≥24．若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　. 5.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 6、下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．7．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．8、已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.9、设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.       10．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．             反思总结1、在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.2、能充分抓住不等式的恒等变形，并能拆分题目中给的不等式里的各项。3、能够拆分题目中的多元不等式为多个不等式来简化证明求解的复杂性。课后练习1、已知实数判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）； （2）； （3）； （4）（5）；    （6）       （7）           2、若则中值最小的是_____________3、已知，，，则下列各式中正确的是（  ） （A）       （B）1      （C）2     （D）14、设a、b是正实数， 以下不等式①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为   (　　)A．①③         B．①④         C．②③        D．②④ 5、若，且，则的最大值是            6、已知且满足,求的最小值.           7、已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。      8、        9、          10、某工厂要建造一个长方体无盖储水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底1㎡的造价为150元，池壁1㎡的造价为120元，问怎么设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？    11．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(　　)A．|a|＜|b|＋|c|   B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a|| D.b＜||a|－|c||12．若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是(　　)A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定13、“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．