专题09 幂与指数（指数幂的拓展）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题09 幂与指数（指数幂的拓展）知识梳理一、整数指数幂的概念及运算性质1．整数指数幂的概念2．运算法则（1）；（2）；（3）；（4）.二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2．两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：四、有理数指数幂的运算1．有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算. 例题解析 一、根式例1.计算：（1）；（2）.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）=+-==||+||-||=+-（）=2        （2）            =           =           =【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.【巩固训练】【变式1】化简：（1）；（2）【答案】（1）；（2）。二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】；；；【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。（1）（2）；（3）；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=====解法二：从外向里化为分数指数幂。  =====【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。【巩固训练】【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）；【答案】（1）；（2）。【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】；；；【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）=    =。例3.计算：(1)；(2)(3)。【答案】3；0；2【解析】(1)原式=；   (2)原式=；   (3)原式=-5+6+4--(3-)=2；【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.【巩固训练】【变式1】计算下列各式：(1)；　　(2).【答案】(1)112 （2）【解析】(1)原式=；(2)原式.例4.化简下列各式.（1）；（2）；　　（3）.【答案】；；0.09【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.（1）原式；（2）（3）【巩固训练】【变式1】化简【答案】【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2】化简下列式子：(1)  (2)  (3)例5．已知，求的值。【答案】【答案】；；【解析】(1)原式(2)∴由平方根的定义得：(3). 【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。，，    ，==【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。【巩固训练】【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12， xy=9，且x<y，求的值.【答案】；【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3(2) 又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.又 ∵ x<y， ∴x-y=代入(1)式得:.【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.【变式2】已知，求及的值．【答案】；【解析】∵ ，∴ x＞0，则，则，∵ ，则，∴ ，∴ ．例6．（1）已知，求的值．（2）化简【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．【答案】（1）3；（2）【解析】（1），    ．    （2）【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力． 【随堂检测】1.化简，结果是（     ）A.       B.     C.        D. 【答案】 A【解析】原式=          =          =         =  2.化简的结果是（     ） A． a B． C． D． 【答案】B【解析】故选B． 3.若，且，则的值等于（     ）A.          B.            C.            D.2 【答案】C【解析】因为，所以，即．同理，又因为，所以，故． 4．化简，结果是（    ）A．6x―6    B．―6x+6    C．―4    D．4 【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴故选D． 5.、、这三个数的大小关系为（    ）A.    B.   C. D. 【答案】B【解析】，，．，．6.      . 【答案】【解析】原式=.    7．化简的结果是                【答案】【解析】原式 8.若，则=          .【答案】-23【解析】原式===4-27=-23. 9.已知，则=         . 【答案】【解析】因为，所以．    10.计算：（1）；（2）.【解析】（1）原式=.（2）原式=         =         =         =         =    11．计算：（1）；（2）已知x+y=12，xy=9，且x＜y，求． 【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式．（2）原式12. 计算：
   【解析】原式=      =      =      =0      13.已知.求证：为定值. 证明：同理原式=2，结论得证．  14.（1）化简：；（2）已知，求的值.解：（1）原式==+                =（2）因为，所以 ，所以    故当 a>b时， =a-b.当a=b时，=0.当a<b时，. 【课后练习】1.若，则等于（       ）A.            B.    C.     D. 非以上答案【答案】B【解析】因为，所以，原式==，故选B。 2．若实数a＞0，则下列等式成立的是（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】对于A，，故A错误，对于B，，故B错误，对于C，，故C错误；对于D，，故D正确，故选D． 3.计算的结果是（      ）A.32       B.16       C. 64       D.128 【答案】 A【解析】，故选A。 4.化简，结果是（     ）A.       B.     C.        D.【答案】A【解析】原式=          =          =         = 5.等于（     ）A.                       B.                        C.                        D.  【答案】C 【解析】= 6.若，且，则的值等于（     ）A.          B.            C.            D.2 【答案】C【解析】因为，所以，即。同理，又因为，所以，故。 计算=        . 【答案】. 【解析】原式= 化简=         .【答案】.【解析】原式=。  9．计算：的结果是              ．  【答案】 【解析】原式．故答案为：． 10．（1）化简：；（2）若a＞0，b＞0，化简：． 【答案】（1）；（2）1【解析】（1）原式．    （2）原式． 11.计算：（1）；（2）. 【解析】（1）原式=.（2）原式=         =         =         =         =   12.计算下列各式：（1）（2）。 【解析】（1）原式．    （2）原式=                   =-（）                   =0 13. 计算： 【解析】原式=      =      =      =0   14．已知，求的值.  【答案】【解析】由题意，，所以原式