专题10 对数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

 专题10 对数（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底） 知识梳理 一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：(2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M，  (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.  例题解析 一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【巩固训练】【变式1】求下列各式中x的值：(1)   (2)   (3)lg1000=x   (4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.(1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.【变式2】计算：并比较．【答案】2  3  5【解析】        ．二、利用对数恒等式化简求值例2．求值：  【答案】35【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【巩固训练】【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算..三、积、商、幂的对数例3. 表示下列各式 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【巩固训练】 【变式1】求值(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2     (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2       =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】（1）已知，则        ． （2）已知，求．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）∵ ，∴，，∴．故答案为：1．（2），，又，故  故，又，从而，  故．四、换底公式的运用例4.已知，求．【答案】【解析】解法一：，，于是．解法二：，，于是解法三：，，．解法四：，又．令，则，即．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．【巩固训练】【变式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】(1)      ；(2)；(3)法一：法二：. 五、对数运算法则的应用例5.（1）计算：（2）（3）（4）若，求x的值．【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出；（4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出．【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2【解析】（1）原式（2）原式==（3）原式=（4）∵，∴，∴∴ ，解得x=－1或x=2，∵x＞0，∴x=2【巩固训练】【变式1】求值：【答案】2【解析】另解：设 =m (m>0).∴ ，∴ ，∴ ，∴ lg2=lgm，    ∴ 2=m，即.例6．设函数（1）当a=0.1，求f（1000）的值．（2）若f（10）=10，求a的值；【思路点拨】（1）当a=0.1时，，把x=1000代入可求（2）由，可求，进而可求a【答案】（1）－14；（2）或【解析】（1）当a=0.1时，∴（2）∵∴ ∴ ∴ 或∴ 或【巩固训练】【变式1】若是方程的两个实根，求的值．【答案】12【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．由已知是原方程的两个根，则，即，===．即．【随堂检测】1．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（    ）A．①③   B．②④   C．①②   D．③④【答案】C　【解析】由知①②正确． 2．下列等式成立的有（    ）①；②；③；④；⑤；A．①②  B．①②③　　　　C．②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B　【解析】；3．已知，那么用表示是（    ）A．           B．          C．      D． 【答案】A　【解析】原式==，故选A．4．已知，且，则A的值是（    ）A．7    B．    C．    D．98【答案】B【解析】∵，且，∴，，∴，∴，解得，故选B． 5．若，则（     ）A．         B．          C．       D． 【答案】B【解析】，因为，所以，故选B． 6．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（   ）A．    B．     C．    D． 【答案】B【解析】设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，∴， 同理，，而， ∴，即． 7．若是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A． 2  B．   C．100  D．【答案】C【解析】∵ 是方程的两个实根，∴ 由韦达定理得：，∴ ab=100．故选C．点评：本题考查对数的运算，由题意得到是解决问题的关键． 8．已知函数满足：当时，；当时，，则=（    ）A．       B．        C．      D．  【答案】A【解析】由于，所以，则==．9．已知，则          ．【答案】4【解析】因为，所以，故．故答案为：4．点评：本题主要考查指数与对数的运算．指数与对数的运算法则一定要熟练掌握． 10．（1）=        ； （2）=         ． 【答案】 （1）-3； （2）4． 11．已知a=0．33，b=30．3， c=log30．3， d=log0．33，则a，b，c，d的大小关系是        ． 【答案】b>a>d>c【解析】∵0．3>0，3>0，  ∴a=0．33>0， b=30．3>0．∵3>1，  0<0．3<1，   ∴c=log30．3<0， d=log0．33<0又∵b=30．3>1，  a=0．33<1，  ∴ b>a而，  ， ∴d>c．12．已知，则的值等于        ．【答案】2008【解析】2008 令，则，，所以． 13．计算：（1）．（2）若，求．【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式= ，故答案为：；（2）                          即= 14．已知实数x满足且．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．14．【答案】（1）2≤x≤4；（2）当，即时，当或，即x=2或x=4时，．【解析】（1）由，解得，即，∴，2≤x≤4（2）因为当，即时，当或，即x=2或x=4时，     15．2010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？【答案】9【解析】设经过年国民生产总值为2010年的2倍    经过1年，国民生产总值为，    经过2年，国民生产总值为，    …    经过年，国民生产总值为    ，两边同取常用对数，得即（年）答：约经过9年，国民生产总值是2010年的2倍． 【课后练习】1．下列说法中错误的是（    ）A．零和负数没有对数　　　　　　　　　　B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数　　　　 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式． 2．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（    ）A．①③   B．②④   C．①②   D．③④ 【答案】C【解析】由知①②正确．  3．下列等式成立的有（    ）①；②；③；④；⑤；A．①②  B．①②③　　　　C．②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B【解析】；4．对数式中，实数的取值范围是（   ）A． B．　　　C．    D．【答案】C【解析】由对数的定义可知所以且，故选C．5．若，则下列说法正确的是（    ）①若，则；②，则；③，则；④若，则．A．①③         B．②④         C．②     D．①②③④    【答案】C【解析】注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C．　6．若，则=（  ） A． 3a  B．    C．a   D． 分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把代入即可．【答案】A 【解析】故选A． 7．已知，则（    ）A．    B．    C．a―2    D．【答案】D【解析】∵，∴，故选：D． 8．若，则（     ）A．        B．         C．      D．  【答案】B【解析】，因为，所以，故选B． 9．计算的结果是（      ） A． B． 2 C．  D． 3 【答案】B【解析】．故选：B． 10．若，则x=       ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得．　 11．若        ；【答案】12【解析】 ． 12．若，则         ． 【答案】1【解析】因为所以，又因为所以，所以原式=．13．设；    ．    求m+n的值． 【答案】【解析】∵，，∴． 14．计算下列各式的值：（1）（2）． 分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．【答案】（1）；（2）－1【解析】（1），（2）