专题11 幂函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）
展开专题11 幂函数
（幂函数的定义与图像，幂函数的性质）
知识梳理
一、幂函数
1、幂的有关概念：
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：
2、幂函数的定义：
形如的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数。
3、幂函数的图象.
根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,的图象.
其中互质.
4、幂函数的性质
所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）
k>0时：（图A）
（1）图象都通过（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。
k<0时；（图B）
（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）
（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
设幂函数的指数，其中p、q互素
当p是偶数时，的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；
当p是奇数时，如果q是偶数，那么是偶函数；如果q是奇数，那么是奇函数
当时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到
热身练习
1、下列命题中正确的是（）
A 当m=0时，函数的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点
C 幂函数图像不可能在第四象限内 D 若幂函数为奇函数，则是定义域内的增函数
【难度】★【答案】C
2、幂函数①,②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个区域：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，那么幂函数的图象在第一象限中经过的区域是（）
A．Ⅳ，Ⅶ ；B． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D． Ⅲ，Ⅶ
【难度】★
【答案】D
3、设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为
【难度】★★【答案】1,3
4、求函数的定义域、值域，并判断其单调性
【难度】★★
【答案】因为必为奇数，且大于0，所以定义域为，值域为，并且在上为增函数
例题解析
考点一、幂函数的概念
【例1】下列函数中，是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】A
【例2】函数的定义域是_____.
【难度】★★【答案】
【例3】函数是幂函数，求的值
【难度】★★【答案】-1或2
【例4】函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是
【难度】★★【答案】
【巩固训练】
1．如果幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）.
A. 16 B. 2 C. D.
【难度】★【答案】D
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.
A. B. C. D.
【难度】★★【答案】B
3．求函数的定义域.
【难度】★★【答案】
4．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（）．
A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数
C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数
D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同
【难度】★★【答案】C
考点二、幂函数的奇偶性
【例5】已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值．
【难度】★★【答案】
【例6】已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．
【难度】★★【答案】
【例7】的最大值为,最小值为，则=
【难度】★★【答案】2
【巩固训练】
1．幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.
【难度】★★【答案】或.
2．已知幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象
【难度】★★
【答案】图象与轴都无交点，，即．又，．
幂函数图象关于轴对称，，或．
当时，函数为，图象如图1；当时，函数为，图象如图1．
考点三、幂函数的图像和单调性
【例8】比较下列各组数的大小：
（1），，；（2），，；
（3），，
【难度】【答案】（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．
（2）底数均为负数，可以将其转化为，，．
∵在上单调递增，且，
∴，即，∴．
（3）先将指数统一，底数化成正数．
，，．
∵在上单调递减，且，∴，
即：．
【例9】幂函数y=在第二象限内为x的减函数，求m的最大负整数值
【难度】★★
【答案】原函数即为y=（x≠0），要使得y=（x≠0）在第二象限有定义，则必为偶函数，于是m2+m-2>0，解不等式得m<-2或m>1，当m=-3时，m2+m-2=4是偶数，满足函数是偶函数，m=-3为所求。
【例10】已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线
【难度】★★
【答案】或得：或
【例11】若，试求实数m的取值范围．
【难度】★★【答案】，或m＞4
【例12】已知函数，求a的取值范围
【难度】★★
【答案】根据幂函数的性质，
有三种可能：或或，解得：．
【例13】，不等式的解集
【难度】★★【答案】
【例14】已知定义在R上的奇函数满足 (x≥0)，若，则实数的取值范围是________．
【难度】★★【答案】
【例15】（1）的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，则=
（2）的单调区间 ，对称中心 ，若是由某个幂函数平移得到，则满足的条件
【难度】★★【答案】（1）（2）；；
【例16】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）函数的图象可以由的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到．
（2），把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数的图象．
【例17】（1）有两个不同的解，则的取值范围
（2）的单调区间
（3）方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是
【难度】★★【答案】（1）（2）（3）
【巩固训练】
1．下列函数中，在是增函数的是（）
A. B. C. D.
【难度】★★【答案】A
2．比较下列各组中两个值大小
（1）与（2）
【难度】★★
【答案】（1）∵函数在上是增函数且∴
（2）函数在上增函数且∵
∴，即
4．若，试求实数m的取值范围．
【难度】★★【答案】
5、函数和图象满足 （）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
【难度】★★【答案】D
6、函数的图象是（）
【难度】★★【答案】A
7、设，若，则与0的大小关系
【难度】★★【答案】
8、，若关于的方程有三个不同的实数解，则
【难度】★★【答案】5
考点四、幂函数综合运用(性质运用、与方程、不等式的联系）
【例18】已知函数满足，
（1）求k的值并求出相应的的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在正实数q，使函数在区间上的值域为？若存在，求出q；若不存在，说明理由。
【难度】★★★
【答案】（1）因为，所以在第一象限是增函数
故，解得，又，所以或，
当或时，，所以
（2）假设存在满足题设，由（1）知，，
因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到，
而，
所以，，解得，所以存在满足题意。
【例19】已知函数是奇函数，为常数
（1）求实数的值；
（2）若，且，求的解析式；
（3）对于（2）中的，若对恒成立，求实数的取值范围
【难度】★★
【答案】（1），
（2），
，当时，（舍），当时，，
（3）对恒成立，当且仅当时等号成立即时，
【例20】对于函数，，若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域也是，则称函数是闭函数．
（1）求函数，符合条件②的区间；
（2）当时判断函数是不是闭函数，并说明理由；
（3）若函数是闭函数，求实数k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）由在上为减函数，得，解之得，∴所求区间为．
（2）取，可得不是减函数，取，可得在不是增函数，∴不是闭函数．
（3）设函数符合条件②的区间为，则，
故a，b是方程的两个实根，命题等价于有两个不相等的实根，当时，，解得，∴．当时，，无解．
∴k的取值范围是．
【巩固训练】
1．若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）.
A. B. C. D.
【难度】★★★【答案】A
2.已知函数，是否存在且，使得当函数的定义域为，值域为？若存在，求出，若不存在，说明理由；
【难度】★★★【答案】
3、已知函数（、），满足，且在时恒成立．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式；
（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）由，得，
因为在时恒成立，所以且△，，
即，，，所以．
（2）由（1）得，由，
得，即，
所以，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为空集．
（3），
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线．
假设存在实数，使函数在区间上有最小值．
①当，即时，函数在区间上是增函数，所以，
即，解得或，因为，所以；
②当，即时，函数的最小值为，
即，解得或，均舍去；
③当，即时，在区间上是减函数，所以，
即，解得或，
因，所以．
综上，存在实数，或时，函数在区间上有最小值．
反思总结
课后练习
1．讨论幂函数(a为有理数)的定义域
【难度】★★
【答案】(1)若，则，这是函数的定义域为.
(2)若{负整数} ，则，这时函数的定义域是
(3)若，则：
①是偶数，，这是函数的定义域是；
②是奇数，，这时函数的定义域为
(4)若，则：
①是偶数，，这是函数的定义域是；
②是奇数，，这时函数的定义域是.
2．函数和图象满足 （ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
【难度】★【答案】D
3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
【难度】★★【答案】∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．
4．证明幂函数在上是增函数
【难度】★★【答案】设，
则
即，此函数在上是增函数
5．已知函数 (.
（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】（1）证明任取
∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.
（2）解：∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴在（0，+∞）上恒成立，
令，当且仅当即x=时取等号
要使在(0,+∞)上恒成立，则
故的取值范围是［,+∞)．
（3）解：由（1）在定义域上是增函数.
∴，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，则．
6．比例下列各组数的大小.
（1）；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；
（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）.
【难度】★★
【答案】（1），函数在(0, +∞)上为增函数，又，则，从而.
（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.
（3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.
（4）＞= 1；0＜＜= 1；＜0，∴＜＜.
7．函数的单调递减区间是 （）
A． B． C． D．
【难度】★★【答案】A
8．对于幂函数，若，则，大小关系是（）
A． B．
C． D．无法确定
【难度】★★【答案】A
9．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是.
【难度】★★【答案】5
10．若，则实数m的取值范围为（）
A. B. C. D.
【难度】★★【答案】C
11．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象. 已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为（）.
A． B.
C. D.
【难度】★★【答案】A
12．已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)求函数；(2)讨论的奇偶性.
【难度】★★★
【答案】（1）∵是偶函数，∴应为偶数。又∵在（0，+∞）上是单调减函数，∴<0，-1<<3。又∈Z，∴=0，1，2。
当=0或2时，=-3不是偶数，舍去；
当=1时，=-4；∴=1，即。
（2），∴
①当，函数为非奇非偶函数； ②当，函数为偶函数；
③当，函数为奇函数； ④当，函数既是奇函数，又是偶函数。
13．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【难度】★★
【答案】（1）此函数的定义域为R，∴此函数为奇函数．
（2）∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
14．已知函数，当为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；
（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数。
【难度】★★【答案】（1）或（2）（3）（4）（5）
15．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★★【答案】（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）．
16．函数的递增区间是___________
【难度】★★【答案】
17．设和是两个不同的幂函数，集合，则集合中的元素个是
【难度】★★【答案】1或2或3
18、已知函数，且满足.
（1）求实数的值；
（2）有三个解，求的取值范围。
【难度】★★★【答案】；
