专题17 函数的基本性质（3）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）


专题17 函数的基本性质（3）
（函数的最值）

知识梳理

一、函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
二、函数的最值
1、设函数定义域为，则当时总有，则称当时取最大值；当时总有，则称当时取最小值；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。
三、函数的值域的求法
1．直接观察
2．配方
3．基本不等式/耐克函数
4．判别式法
5．分离常数法/部分分式法
6．换元
7．数形结合
8．单调性
9．奇偶性(*)

例题解析

一、特殊方法
1．直接观察
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
【例1】求函数的值域；
【难度】★【答案】∵故函数的值域是：
【例2】求函数的值域
【难度】★★【答案】
2．配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
对于求二次函数或可转化为形如的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；
【例3】求函数的值域；
【难度】★
【答案】将函数配方得：∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]
【例4】求二次函数的值域；
【难度】★
【答案】函数的定义域为，，从而函数为对称轴为的开口向下的二次函数，，.即函数的值域为.
注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。
【例5】求的最大值
【难度】★★【答案】35

【例6】设，求的最值
【难度】★★【答案】

【例7】求函数的值域
【难度】★★【答案】

【例8】求函数的值域
【难度】★★★【答案】




3．基本不等式
对形如（或可转化为），可利用求得最值。注意“一正、二定、三相等”；
【例9】求函数的值域；
【难度】★【答案】

【例10】求函数的值域。
【难度】★【答案】定义域，，满足取等号的条件。

【例11】求函数的值域；
【难度】★★【答案】
【例12】求的值域；
【难度】★★【答案】
【例13】求的值域；
【难度】★★【答案】时，；时，

4．判别式法
一般地，形如的函数，我们可以将其转化为的形式，再通过求得的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误；
【例14】求函数的值域；
【难度】★★
【答案】可化为
当即时，方程在实数范围内有唯一解；
当即时，，，即
解得，函数的值域为
【例15】设函数的值域为，求；
【难度】★★
【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解.

解集为，解得
5．分离常数法/部分分式法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
【例16】求函数的值域；
【难度】★★
【答案】，因为，则，
故函数的值域为。

【例17】（1）；（2）；
【难度】★★
【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型函数；耐克函数；二次型函数等。
【解答】（1）
所以原函数的值域是
（2）因为
当时，，所以当且仅当时等号成立；
当时，，所以当且仅当时等号成立；
所以函数的值域为。
【例18】求函数的最值；
【难度】★★【答案】

【巩固训练】
1．求二次函数的值域；
【难度】★【答案】

2．求函数的值域。
【难度】★【答案】
3．求函数的值域．
【难度】★★
【答案】原函数化为关于的一元二次方程．
（1）当时，，，解得；
（2）当时，，而．故函数的值域为．
4．已知函数的值域为，求实数的值；
【难度】★★
【答案】变形有（y-2）x2-bx+（y-c）=0，⊿=b—4（y-2）（y-c）=4y2-4（2+c）y+8c-b2＞0，
其解集为[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2时也适合.

5．求函数的值域；
【难度】★
【答案】先将此函数化成隐函数的形式得:
这是一个关于的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程的判别式,解得: . 故原函数的值域为: .
评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在或仅有个别值（个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，若在求出的值域中则应除去此值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数，的值域，则不能使用此方法．　
6．求函数的值域。
【难度】★★【答案】，值域

二、通用方法
6．换元法
有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
【例19】求的值域；
【难度】★
【答案】令，则，，
所以函数值域为．
【例20】求函数的值域；
【难度】★
【答案】设则t≥0
∴x=1-t2代入得y=f (t )=2×(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4
∵t≥0∴y≤4∴所求值域为
7．数形结合
对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化；

【例21】求函数的值域．
【难度】★
【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．

解：作图像如图所示．
，，，，
函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为．


【例22】求函数的值域。
【难度】★★
【答案】
原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：



【例23】求函数的值域；
【难度】★★
【答案】原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,
KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。


【例24】对，记，求函数的最小值。
【难度】★★【答案】

【巩固训练】
7．求函数的值域；
【难度】★
【答案】函数的定义域为，令，那么，
。当即也即时，函数有最大值；函数无最小值.函数的值域为.
点评：对于形如（、、、为常数，）的函数，我们可以利用换元法求其值域.

8．已知函数的值域为，求函数的值域。
【难度】★★
【答案】令，
由得：，∴所求值域为。
评注：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．

9．求函数的值域。
【难度】★★
【答案】令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

10．求函数的值域.
【难度】★
【答案】此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
在对应的区间内,
画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为.

11．求函数的最大值；
【难度】★★
【答案】==，
显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：=|AB|,=|AC|,且|BC|=1.
显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C三点共线时取到等号，即当X=-1时.
yy
B 2 B 2
C 1 C 1






三、函数性质
8．单调性
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
对于形如（、、、为常数，）或者形如而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

【例25】求函数的值域；
【难度】★★
【答案】，若用不等式法，那么等号成立的条件为即，显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.
为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，设（），则函数就转化为，，现在我们考查一下函数的单调性：
函数在、上都单调递减；而在、上单调递增.
那么当，函数是单调递增函数，故当即也即时，函数有最小值，函数的值域为.

【例26】求函数的值域.
【难度】★
【答案】函数的定义域为，显然函数在其定义域上是单调递增的，当时，函数有最小值，故函数的值域为.

【例27】求函数的值域。
【难度】★★
【答案】，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。

【例28】求函数的值域
【难度】★★★
【答案】
9．奇偶性(*)
适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；

【例29】若都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
【难度】★★
【答案】C
【解析】、为奇函数，∴为奇函数．
又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C．

【巩固训练】
12．求函数的值域；
【难度】★★
【答案】此题可以看作和,的复合函数, 显然函数为单调递增函数, 易验证亦是单调递增函数, 故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.当时, 取得最小值.当时, 取得最大值.
故而原函数的值域为.

13．求函数的值域；
【难度】★★
【答案】易知定义域为，而在上均为增函数，
∴，故

14．函数的值域是________________________.
【难度】★★
【答案】函数和在上都是减函数，所以，所以函数的值域为．
15．设函数的最大值为，最小值为，则___________.
【难度】★★【答案】2

四、综合及应用
【例30】若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是_____.
【难度】★★★【答案】

【例31】已知函数；
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围；
【难度】★★【答案】错解分析：考生不易考虑把求的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把转化为关于的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当时，
∵在区间上为增函数，∴在区间上的最小值为.
(2)解法一：在区间上，恒成立恒成立.
设,
∵单调递增，
∴当时，，故
解法二：，
当时，函数的值恒为正；
当时，函数递增，故当时，
当且仅当时，函数恒成立，故
【例32】函数，若是的最小值，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【难度】★★
【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．
【解答】解：由于f（x）=，
则当x=0时，f（0）=a2，
由于f（0）是f（x）的最小值，
则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，
则有a2≤x++a，x＞0恒成立，
由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，
则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．
综上，a的取值范围为[0，2]．
故选：D．
【例33】某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为(万元),其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？
（3）年产量多少时，企业才不亏本？
【难度】★★
【答案】(1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
y=
(2）在0≤x≤5时，y=－x2+4.75x－0.5,当x=－=4.75(百台）时，ymax=10.78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
(3）要使企业不亏本，即要求
解得5≥x≥4.75－≈0.1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.


【巩固训练】
16．设为方程的两个实根，当_________时，有最小值_________.
【难度】★★
【答案】；

17．已知函数
（1）若函数的值域为，求的值；
（2）若函数的值均为非负数，求函数的值域。
【难度】★★
【答案】（1），即，或
（2），值域

18．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.
（1）判断下面函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；
,,;
（2）设；,,生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）设,,取,生成函数图像的最低点为，若对于任意的正实数，且，试问是否存在最大的常熟，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）不是；（2）；（3）


反思总结

1、函数值域的问题，也要先求定义域，或者题目给定的范围内求；然后根据解析式的特征选择合适的方法；
2、大多题目都需要各种方法综合运用，所以换元、配方、部分分式、单调性尤其要熟练掌握；
3、不等式的恒成立、方程的有解，本质上都是函数值域和最值的问题，灵活运用参变分离法；


课后练习

1、函数的值域是（）
A. B.C. D.
【难度】★★
【答案】B


2、函数的值域是（）
A. B.C.D.
【难度】★
【答案】A


3、函数的值域为________________.
【难度】★
【答案】

4、函数的值域为________________.
【难度】★
【答案】

5、函数的值域_______________________.。
【难度】★
【答案】
6、函数的值域___________________.
【难度】★
【答案】
7、求函数的值域______________。
【难度】★
【答案】

8、求函数的值域______________。
【难度】★★
【答案】
9、求函数的值域______________。
【难度】★★
【答案】
10、求函数的值域______________。
【难度】★
【答案】



11、求函数的值域______________。
【难度】★★
【答案】

12、求函数的值域______________。
【难度】★★
【答案】

13、求函数，的值域______________。
【难度】★★
【答案】
14、求函数的值域______________。
【难度】★
【答案】

15、求函数的值域______________。
【难度】★★
【答案】
16、求函数的值域______________。
【难度】★
【答案】

17、一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
【难度】★★
【答案】8

18、求下列函数的值域
（1）
【难度】★
【答案】

（2）
【难度】★★
【答案】

（3）
【难度】★★
【答案】

（4）
【难度】★★
【答案】

（5）
【难度】★★
【答案】将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
由,可知函数的定义域为。此时

∴,函数的值域是。


19、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为，防洪堤高记为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（）要最小。
（1）用表示;
（2）将表示成的函数，如限制在范围内，最小为多少米？并说明理由。
A
D
C
B
h
E

【难度】★★
【答案】（1）由题意，。
，且。
所以，解得。
（2）
A
D
C
B
h
E

任取，则，
所以在区间上单调递增。
所以（米）。答：最小为米。
20、，
（1）求证：；
（2）在最小值为，求的解析式；
（3）在（2）的条件下，设表示不超过的最大整数，求的值域。
【难度】★★★
【答案】(1) 由得：，∴，即。
∵，，∴，∴。
(2)∵在上单调递增，∴在上的最小值为，∴。
又，∴，∴∴
(3)
，为奇函数。
①当时，，=0，，=0
②当时，，=0，，

③当时，，，，
的值域
21、已知函数．（1）求函数的定义域和值域；（2）设（为实数），求在时的最大值；（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………4分
（2）因为
令，则，
∴()+t= …………6分
由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分
因为a