专练08（解答题-提升，20题）-2020~2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

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专练08（解答题-提升）一、解答题1．（2020·山西高一月考）（1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围；（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）讨论，两种情况，分别求出不等式的解集，结合题中条件，即可得出结果；（2）根据，得到，所求式子化为，结合基本不等式，即可求出最小值.【详解】（1）由可得，当时，不等式的解集为，此时显然是的子集；当时，不等式的解集为，要使其为的子集，只需，即，.综上，实数的取值范围为；（2）根据题意，，则，则，当且仅当时，等号成立；则的最小值为16.【点睛】本题主要考查分类讨论法解含参数的一元二次不等式，考查由基本不等式求最值，属于常考题型.2．（1）；（2）求值：.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】利用指数幂，对数的运算律即得解.【详解】（1）.（2）【点睛】本题考查了指数幂，对数的运算，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.3．求证：函数在上是增函数．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用定义法任取，作差证明即可得证.【详解】任取，所以.所以函数在上是增函数．【点睛】此题考查函数单调性的证明，常利用定义法作差证明函数单调性，需要注意熟练掌握作差定号的基本步骤.4．（2020·随州市第一中学高一月考）（1）已知求函数的最大值；（2）已知求函数的最大值；（3）若求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）变形得，利用基本不等式即可求最值；（2）凑系数，利用基本不等式即可求最值；（3）对用基本不等式后，对函数式再用一次基本不等式即可求最值．【详解】解：（1），，，当且仅当，即时等号成立；则，，所以函数的最大值为；（2），，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最大值为；（3），，当且仅当，即时等号成立，的最小值为．【点睛】本题考查基本不等式求最值，注意基本不等式的使用需满足一正，二定，三相等，特别要注意等号的成立条件，是基础题．5．（2019·山东高一月考）已知函数，(1)若该函数在区间上是减函数，求的取值范围.(2)若，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）根据函数在区间上是减函数,得,由此可求得的范围； （2）当时，，得出函数在和上单调递减，从而得在的最大值和最小值.【详解】（1）因为函数在区间上是减函数,
所以,解得,所以的取值范围.
（2）当时，，则在和上单调递减，因为，所以在的最大值是，最小值是，所以该函数在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查反比例函数的单调性和运用其单调性求在已知闭区间上的最值，属于基础题，在求解反比例函数的相关问题，常需运用变量集中的方法，将自变量集中在分母上后，再研究相关的单调性、值域等问题。6．已知函数.（1）求，的值；（2）当时，求x的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，代入求值即可；（2）分，，三种情况讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；【详解】解:（1）因为所以所以，因为，所以（2）①当时，由，得；②当时，满足题意③当时，由，得综上所述：x的取值范围是：或.【点睛】本题考查分段函数的性质应用，分段函数求值及解分段不等式，考查分类讨论思想，属于基础题.7．（2020·陕西西安市远东一中高一月考）若是定义在上的增函数，且对一切，，满足.（1）求（1）的值；（2）若（6），解不等式.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）令可得；（2）利用，将化为（6），再根据函数的单调性和定义域列式可解得结果.【详解】（1）在中，令，得（1）（1）（1），（1）.（2）（6），（6）（6），（6）（6），即：（6），是上的增函数，，解得.故不等式的解集为.【点睛】本题考查了利用单调性解抽象函数的不等式，属于基础题.8．（2019·涡阳县第九中学高二期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].（1）求图中的值；（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.【答案】（1）；（2）10人.【解析】【分析】（1）根据频率和为1，求图中的值；（2）两个表格结合求数学成绩在的人数，再求之外的人数.【详解】（1）.（2）数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人.【点睛】本题考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握频率分布直方图的性质，比如，每个小矩形的面积和为1，每个小矩形的面积就是本组的频率，频率=频数/样本容量等.9．（1）解关于的不等式：；（2）已知，其中，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为，利用高次不等式的解法可得出原不等式的解集；（2）将函数的解析式变形为，利用基本不等式可求得函数在上的最小值.【详解】（1）原不等式可化为且，即，解之得.综上，原不等式的解集为；（2），则，由基本不等式得（当且仅当时，即当时取得等号）因此，函数的最小值为.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，涉及高次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.10．（2019·河南高一月考）已知函数的图象经过定点，.（1）求a，b的值；（2）设，，求（用m，n表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求解.（2）由（1）可求出，再利用换底公式即可求解.【详解】（1）因为函数的图象经过定点，，所以解得（2）由（1）得，则，，所以.【点睛】本题考查了对数的运算、换底公式，需熟记对数的运算性质以及换底公式，属于基础题.11．（2019·吉林长春外国语学校高二开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时,.(1)求的解析式；(2)若方程有4个解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由是定义在上的偶函数，时，利用即可求解．(2)作出函数的图象，由图象即可求解．【详解】(1)由已知有：f(－x)=f(x),x∈R，且x≥0时，f(x)=x2－x，设x＜0，则－x＞0，f(x)=f(－x)=(－x)2－(－x)=x2+x.(2)作出函数f(x)的大致图象：当方程f(x)=k有4个解时，由图可知：.【点睛】本题主要考查了求函数的解析式及方程的解与函数图象间的关系，考查转化能力，属于基础题．12．《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨.周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？（Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以，然后利用基本不等式从而求出最值；（2）设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解.【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，每吨平均加工成本为： 当且仅当即时，才能使每吨的平均加工成本最低． （Ⅱ）设该单位每月获利为，则时，故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．【点睛】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值，属于基础题．13．已知函数，（，）.（1）若函数的定义域为，求的最小值；（2）当时，求使不等式成立的的取值范围.【答案】（1）当,；当时,；（2）【解析】【分析】（1）将配成顶点式,结合对称轴与定义域的关系,即可求得的最小值.（2）将代入,结合对数函数的单调性及定义域,解不等式组即可求解.【详解】（1）将二次函数配成顶点式可得,定义域为当,；当时,（2）当,不等式可化为即,解不等式得综上,的取值范围是．【点睛】本题考查了二次函数在某区间上的最值求法,分类讨论思想的应用,对数函数单调性的应用,属于基础题.14．（2019·安徽省明光中学高一月考）已知函数，且，.(1)求，的值；(2)判断的奇偶性并证明；【答案】(1) ，；(2) 偶函数,证明见解析【解析】【分析】(1)根据，，得到关于，的不等式组，解出，的值；(2)判断定义域，然后研究与的关系，从而进行证明.【详解】(1) 函数，因为，.所以，解得，（2）由（1），，所以定义域为，，所以为偶函数.【点睛】本题考查根据函数的值求参数，函数奇偶性的判断，属于简单题.15．（2020·贵溪市实验中学期中）函数，其中（1）求的最大值与最小值；（2）若存在使成立，求实数的范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）令，再利用二次函数配方即可求最值.（2）将不等式转化为即可求解.【详解】（1），，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，，所以，（2）若存在使成立，只需，由（1）可得.16．（2017·上海曹杨二中高一期中）已知，根据单调性定义证明在其定义域内为增函数.【答案】证明见详解【解析】【分析】首先求出函数的定义域为，任取，判断小于零，由增函数的定义即可求解.【详解】由，则函数的定义域为，任取，则，，则，，，即 ，所以在其定义域内为增函数.【点睛】本题考查了利用函数的单调性定义证明函数的单调性，证明步骤：取值、作差、变形、定号，属于基础题.17．（2020·云南昆明一中期中）已知正数a，b满足a+3b=4.（1）求ab的最大值，且写出取得最大值时a，b的值；（2）求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.【答案】（1）ab的最大值，此时a=2，；（2）的最小值4，此时a=1，b=1.【解析】【分析】（1）由基本不等式可得，结合等号成立的条件即可得解；（2）转化条件为，再由基本不等式即可得解.【详解】（1）由基本不等式可知：，所以即，当且仅当，即，时，等号成立，所以ab的最大值，此时，；（2）由题意，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，此时.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．（2020·山西省长治市第二中学校高二期末（文））设命题实数x满足，命题．（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，为假命题，为真命题，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)分别求出能使命题p，q为真的x的取值范围的集合A，B，由p是q的充分而不必要条件知，从而求出的取值范围；(2)由题意知命题p，q一真一假，对两命题的真假进行分类讨论即可求得x的取值范围.【详解】（1）使命题为真的的范围为集合使命题q为真的的范围为集合由题知,即，解得（2）当时，集合，由题知，命题p，q一真一假若p真q假，则，解得若p假q真，则，解得综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查简单逻辑的判定，一元二次不等式、分式不等式的解法，由集合的包含关系求参数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.19．（2020·甘肃紫荆中学高一月考）已知二次函数满足条件，及.（1）求的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】解：（1）设，，则，∴由题，恒成立∴，，得，，，∴.    （2）由（1）可得，所以在单调递减，在单调递增，且，∴，.【点睛】本题考查了二次函数的性质，及待定系数法求解析式，利用等式恒成立解决，属于基础题．20．（2019·四川高一期末）已知函数.（1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）区间应在对称轴右端；（2）分，，三种情况讨论即可.【详解】（1）由题知函数的对称轴方程为， 在区间上单调递减， ，则，解得 ；（2）由（1）知函数的对称轴方程为，当，即时，函数在区间上单调递减， 最大值为，解得，与矛盾；当，即时，函数在区间的最大值为，解得，舍去；当，即时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得，与矛盾。综上，.【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围，分类讨论二次函数的最值问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.