初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆课时作业
展开2.6正多边形与圆基础练习
一、选择题
- 边长等于 的正六边形的半径等于
A． B． C． D．
- 正六边形的周长为 ，则它的面积为
A． B． C． D．
- 正方形 内接于 ，若 的半径是 ，则正方形的边长是
A． B． C． D．
- 如图，正六边形 ，点 是 延长线上的一点，则 的度数是
A． B． C． D．
- 连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是
A． 是等边三角形
B．连接 ，则 分别平分 和
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．四边形 与四边形 的面积相等
- 六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是
A．正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D．正四边形地砖
- 已知正六边形的边长为 ，则它的内切圆的半径为
A． B． C． D．
- 边长为 的等边三角形的外接圆的半径是
A． B． C． D．
- 【例 】已知圆内接正三角形的面积为 ，则边心距是
A． B． C． D．
- 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，如图所示四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为 ，，，，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
二、填空题
- 正八边形的中心角等于 度．
- 正八边形的中心角为 度．
- 如图，要拧开一个边长为 的正六边形螺帽，扳手张开的开口 至少为 ．
- 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 ，则螺帽边长 ．
- 如图，正六边形 中， 是边 的中点，连接 ，则 ．
- 用 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图（），用 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图（）．若围成一圈后中间形成一个正多边形，则 的值为 ．
- 如图，在正八边形 中，连接 ， 交于点 ，则 ．
- 如图①，正三角形和正方形内接于同一个圆；如图②，正方形和正五边形内接于同一个圆；如图③，正五边形和正六边形内接于同一个圆，；则对于图①来说， 可以看作是正 边形的边长；若正 边形和正 边形内接于同一个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形的顶点可以看做是 边形的边长．
三、解答题
- 如图，点 ，，，，， 都在 上，且 ，若 的半径为 ，求 的长．
- 求半径为 的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比 ．
- 如图，五边形 内接于 ，．求证：五边形 是正五边形．
- 如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中 的度数．
- 如图，已知 的内接正六边形 ，若 的半径为 ，求：阴影部分（弓形）的面积．（结果保留 ）
- 用圆规可以作出许多美丽的图案，传说拿破仑曾考他的大臣：只用圆规把圆四等分．有位大臣是这样回答的：
①将半径为 的 六等分，依次得到 ，，，，， 六个分点；
②分别以点 ， 为圆心， 长为半径画弧 是两弧的一个交点；
③ ．
(1) 根据大臣的作法， 的长是多少．
(2) 请在图 中，只用圆规把圆四等分．（不写作法，保留作图痕迹）
- 某房间的地面由三种正多边形的地砖铺成，且每一个顶点处三种正多边形地砖各有一块．
(1) 设三种正多边形的内角分别为 ，，，则 ，， 之间的关系式为 ．
(2) 设这三种正多边形地砖的边数分别是 ，，，求 的值．
- 如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距．
- 工人师傅把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺地板，按照下面给出的拼接方法（如图所示），就可以不留下任何空隙而铺成一大片．
(1) 请说出工人师傅之所以能这样拼接的理由；
(2) 如果还有一批形状、大小完全相同，但不规则的三角形边脚余料，那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板？如果可以，请说出理由，并将你剪好的一些形状、大小完全相同，但不规则的三角形纸片拼接好（不互相重叠且无空隙），贴在下面的空白处．
- 如图，有一个圆 和两个正六边形 ，， 的 个顶点都在圆周上， 的 条边都和圆 相切（我们称 ， 分别为圆 的内接正六边形和外切正六边形）．
(1) 设 ， 的边长分别为 ，，圆 的半径为 ，求 及 的值；
(2) 求正六边形 ， 的面积比 的值．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】A
【解析】正 边形的中心角为 ，
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
边长为 的正六边形外接圆半径是 ，即正六边形的半径长为 ．
【知识点】正多边形与圆
2. 【答案】D
【解析】如图，连接 ，，过 作 于 ，
，
，
是等边三角形，
正六边形 的周长为 ，
，
，
，
，
，
该六边形的面积为：．
故选：D．
【知识点】正多边形与圆
3. 【答案】B
【知识点】正多边形与圆
4. 【答案】B
【解析】正六边形的一个外角为 ，
．
【知识点】正多边形与圆、多边形的内外角和
5. 【答案】A
【知识点】轴对称图形、正多边形与圆、等边三角形的判定
6. 【答案】A
【知识点】多边形镶嵌
7. 【答案】B
【解析】如图，连接 ，，；
六边形 是边长为 的正六边形，
是等边三角形，
，
，
边长为 的正六边形的内切圆的半径为 ．
【知识点】正多边形与圆
8. 【答案】D
【知识点】正多边形与圆
9. 【答案】B
【解析】设正三角形的边心距为 ，则其半径为 ，边长为 ，
圆内接正三角形的面积为 ，
，解得：．
该圆的内接正三角形的边心距为 ．
故选：B．
【知识点】正多边形与圆
10. 【答案】B
【解析】设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为 ，，，
设圆的直径为 ，则正三角形、正方形、正六边形、圆图形的边长（直径） 图形的“直径” 图形的周长 图形的“周率” 从上表可看出 ．
【知识点】正多边形与圆
二、填空题（共8题）
11. 【答案】
【知识点】正多边形与圆
12. 【答案】
【解析】正八边形的中心角等于 ．
【知识点】正多边形与圆
13. 【答案】
【解析】设正多边形的中心是 ，其一边是 ，
，
，
四边形 是菱形，
，，
，
，
，且 ，
，
．
【知识点】正多边形与圆
14. 【答案】
【解析】如图：作 于 ．
由正六边形，得 ，，
．
由 ，得 ．
，即 ，解得 ．
【知识点】正多边形与圆
15. 【答案】
【解析】如图，连接 ，设 ，
正六边形 ，
， 为等腰三角形，
，，，
，
，
．
【知识点】正多边形与圆、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
16. 【答案】
【知识点】正多边形与圆、用代数式表示规律
17. 【答案】
【解析】 八边形 是正八边形，
，，，
，
．
故答案为：．
【知识点】正多边形与圆
18. 【答案】十二；正
【解析】如图①，连接 ，，，
正三角形 和正方形 接于同一个 ，
，，
，
，
可以看作是正十二边形的边长，
若正 边形和正 边形内接于同一个圆，
同理可得 ，，
同理可得 ，，
，
，
可以看作是正 边形的边长．
【知识点】正多边形与圆
三、解答题（共10题）
19. 【答案】连接 ，，，
则 ，
则 和 均为边长为 的等边三角形，且 ，
可求得 ．
【知识点】正多边形与圆、勾股定理
20. 【答案】
【知识点】正多边形与圆
21. 【答案】 ， 对着 ， 对着 ，
，
，
即 ，
．
同理可证其余各边都相等，
五边形 是正五边形．
【知识点】圆周角定理推论、正多边形与圆
22. 【答案】由正方形、正五边形和正六边形的性质，
得 ，，，
，．
，
，
．
【知识点】正多边形与圆
23. 【答案】 的半径为 ，
的面积为 ，
空白正六边形为六个边长为 的正三角形，
每个三角形面积为 ，
正六边形面积为 ，
阴影面积为 ，
【知识点】正多边形与圆、解直角三角形
24. 【答案】
(1) 由题意知：，，
，
，
故答案为：．
(2) 以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，，即 ，，， 为 的四分点．
【知识点】勾股定理、正多边形与圆
25. 【答案】
(1)
(2) 根据多边形内角和定理得：，，．
于是 ，
整理得 ．
【知识点】多边形镶嵌
26. 【答案】如图，
设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，．
．
．
设 ，则 ．
在 中，，
即 ．
解得 （负值已舍去）．
，．
等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ．
【知识点】正多边形与圆
27. 【答案】
(1) 这是因为任意四边形的内角和都都是 ．
(2) 能，因为三角形的内角和为 ，拼图略．
【知识点】多边形镶嵌
28. 【答案】
(1) 连接圆心 和 的 个顶点可得 个全等的正三角形．
；
连接圆心 和 相邻的两个顶点，得以圆 半径为高的正三角形，
．
(2) 的边长比是 ，
．
【知识点】特殊角的正弦、余弦值、相似图形的性质、正多边形与圆
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