苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆同步训练题

2.6正多边形与圆巩固练习

一、选择题

1. 如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数是

 A．  B．  C．  D．

2. 如图，两个正六边形的边长均为 ，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的一条对角线上，则这个图形（阴影部分）的外轮廓的周长是

 A．  B．  C．  D．

3. 如图，有一个边长为 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是

 A．  B．  C．  D．

4. 如图， 的外切正八边形 的边长 ，则 的半径为

 A．  B．  C．  D．

5. 割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．试用这个方法解决问题：如图，圆 的内接多边形面积为 ，圆 的外切多边形面积为 ，则下列各数中与此圆的面积最接近的是

 A．  B．  C．  D．

6. 已知正三角形的边长为 ，其边心距为 ，外接圆的半径为 ，则 等于   

 A． B． C． D．

7. 如图，正六边形 内接于 ，若直线 与 相切于点 ，则    

 A． B． C． D．

8. 圆内接正三角形的边心距与半径的比是

 A．  B．  C．  D．

9. 将正方形 绕点 按逆时针方向旋转 ，得正方形 ， 交 于点 ，，则四边形 的内切圆半径为   

 A． B． C． D．

10. 已知正方形 和正六边形 边长均为 ，把正方形放在正六边形中，使 边与 边重合，如图所示．按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点 顺时针旋转，使 边与 边重合，完成第一次旋转；再绕点 顺时针旋转，使 边与 边重合，完成第二次旋转；．在这样连续 次旋转的过程中，点 ， 间的距离可能是

 A．  B．  C．  D．

二、填空题

11. 如图，一张正六边形纸片的阴影部分面积为 ，则此正六边形纸片的面积    ．

12. 若正 边形的内角为 ，边数 为    ．

13. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上．设定 边如图所示，则 是直角三角形的个数有    个．

14. 如图，正五边形的边长为 ，连对角线 ，，，线段 分别与 和 相交于点 ，，则     ．

15. 如图是一个半径为 的圆形广场，其中放有六个宽为 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为     ．

16. 刘徽是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九章算术圆田术》中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法．（注：圆周率 圆的周长与该圆直径的比值．）

“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”．刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．

刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 ，此时圆内接正六边形的周长为 ，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为 ．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为    ．（参考数据：）

17. 如图，已知线段 ，点 从 点开始沿 边向右运动，以 为边向上作正 ，再以 为边向右作正六边形 ，点 恰好落在线段 上，当 与 重合时运动结束，则正六边形的中心 的运动路径长为    ，点 与点 的最短距离为    ．

18. 小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图 所示，于是他绘制了如图 所示的图形．图 中 个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若 所在的直线经过点 ，，小正六边形的面积为 ，则该圆的半径为     ．

三、解答题

19. 如图，点 ，，，，， 都在 上，且 ，若 的半径为 ，求 的长．

20. 已知正 边形的一个外角与一个内角之比为 ，求 的值．

21. 如图，点 ， 分别是正六边形 的边 ， 上的点，且 ， 与 交于点 ．

(1)  求证：；

(2)  求 的度数．

22. 阅读下面的材料：

小伟遇到这样一个问题：如图 ，在正三角形 内有一点 ，且 ，，，求 的度数．

小伟是这样思考的：如图 ，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

(1)  请你回答：图 中 的度数等于    ．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图 ，在正方形 内有一点 ，且 ，，，则     ，     ．

(2)  如图 ，在正六边形 内有一点 ，且 ，，，则     ，     ．

23. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：

甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．

乙同学：我知道，边数为 时，它是正三角形；我想，边数为 时，它可能也是正五边形

丙同学：我发现边数为 时，它也不一定是正六边形．如图 ， 是正三角形，弧 、弧 、弧 均相等，这样构造的六边形 不是正六边形．

(1)  如图 ，若圆内接五边形 的各内角均相等，则     ，请简要说明圆内接五边形 为正五边形的理由．

(2)  如图 ，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．

(3)  根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数 （， 为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．

24. 如图， 的周长等于 ，正六边形 内接于 ．

(1)  求圆心 到 的距离．

(2)  求正六边形 的面积．

25. 如图所示，点 ， 分别是 的内接正三角形 ，内接正方形 ，内接正五边形 ，，内接正 边形的边 ， 上的点，且 ，连接 ，．

7

(1)  求图（1）中的 的度数；

(2)  在图（2）中 的大小是    ，在图（3）中 的大小是    ；

(3)  试探索 的度数与正 边形边数 之间的关系（直接写出答案）．

26. 如图， 中，，，点 ， 在 上，且 ，，过点 ，， 的 分别交 ， 于点 ，．求证：五边形 是正五边形．

27. 如图 ，，，，，， 分别是 的内接正 、正方形 、正五边形 的边 ， 上的点，且 ，连接 ，．

(1)  求图 中 的度数    ；

(2)  图 中 的度数是    ，图 中 的度数是    ；

(3)  试探究 的度数与正 边形边数 的关系式（直接写出答案）．

28. 设平面内一点到等边三角形中心的距离为 ，等边三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．对于一点与等边三角形，给出如下定义：满足 的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系 中，等边 的三个顶点的坐标分别为 ，，．

(1)  已知点 ，，．在点 ，， 中，是等边 的中心关联点的是    ；

(2)  如图1，

①过点 作直线交 轴正半轴于点 ，使 ．若线段 上存在等边 的中心关联点 ，求 的取值范围；

②将①中直线 向下平移得到直线 ，当 满足什么条件时，直线 上总存在等边 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）

(3)  如图2，点 为直线 上一动点， 的半径为 ．当点 从点 出发，以每秒 个单位的速度向右移动，运动时间为 秒．是否存在某一时刻 ，使得 上所有点都是等边 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意得 得值；如果不存在，请说明理由．

答案

一、选择题（共10题）

1.  【答案】C

【解析】 正多边形中心角的和是 ，每一个正多边形中心角是 ，

  这个正多边形的边数是 ．

故选C．

【知识点】正多边形与圆

2.  【答案】B

【解析】正六边形的各个内角均为 ，

 ，

 ，

 ，

  为等边三角形，

 ，同理 为等边三角形，

 ，

  这个轮廓线周长为 ．

【知识点】正多边形与圆

3.  【答案】B

【解析】如图所示，正六边形的边长为 ，，

  六边形 是正六边形，

 ，

 ，，

 ，

 ，，，

 ，

 ，

 ，

  圆形纸片的直径为 ．

【知识点】正多边形与圆

4.  【答案】B

【解析】设 与 相切于点 ，连接 ，，，作 于 ，如图所示：

则 ，，，，

 ，

  是等腰直角三角形，

 ，，

设 ，则 ，

 ，

在 中，由勾股定理得：

 ，解得：，

  的面积 ，

 ，

即 的半径为：．

【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、正多边形与圆

5.  【答案】B

【解析】圆外切多边形的面积大于圆面积，圆内接多边形的面积小于圆面积．

圆 的内接多边形面积为 ，圆 的外切多边形面积为 ，

  圆面积在 与 之间，

 ，

 ．

观察选项，只有B选项符合题意．

故选B．

【知识点】正多边形与圆

6.  【答案】A

【解析】

 如图所示， 是 的中心， 、 、 组成直角三角形，且 ．

根据勾股定理知，，

   ．

【知识点】正多边形与圆

7.  【答案】A

【解析】连接 ，则 ．

根据正六边形与圆的性质，可知 ，所以 ．

【知识点】正多边形与圆、直线与圆的位置关系

8.  【答案】B

【知识点】正多边形与圆

9.  【答案】B

【解析】作 与 的角平分线交于点 ，过 作 ，

则 ，，

故 ，

设 ，则 ，

故 ，

解得 ，负值舍去．

  四边形 的内切圆半径为 ．

【知识点】正方形、正多边形与圆、旋转

10.  【答案】C

【知识点】旋转及其性质、正多边形与圆

二、填空题（共8题）

11.  【答案】

【知识点】正多边形与圆

12.  【答案】

【解析】 正 边形的每个内角都是 ，

  正 边形的每个外角的度数 ，

 ．

【知识点】正多边形与圆

13.  【答案】

【知识点】多边形的内外角和、勾股逆定理、正多边形与圆

14.  【答案】

【知识点】两角分别相等、等腰三角形的判定、正多边形与圆

15.  【答案】

【解析】设圆心是 ，连接 ，，作 ，垂足为 ．

设长方形摊位的长是 ，

在直角三角形 中，，，则 ，

由勾股定理得，，

在 中，，

 ，

 ，

解得 ，（不合题意，舍去），

则 ．

故答案是 ．

【知识点】公式法、正多边形的有关计算

16.  【答案】

【知识点】正多边形与圆

17.  【答案】；

【解析】连接 ．

  正六边形 ，

  是等边三角形．

 ．

又 ，

 ．

 ．

又 ，

 ，，

【知识点】正多边形与圆

18.  【答案】

【知识点】正多边形与圆、勾股定理

三、解答题（共10题）

19.  【答案】连接 ，，，

则 ，

则 和 均为边长为 的等边三角形，且 ，

可求得 ．

【知识点】正多边形与圆、勾股定理

20.  【答案】 ．

【知识点】正多边形与圆

21.  【答案】

(1)   多边形 为正六边形，

 ，．

在 与 中，

 ．

(2)  由（）知 ，

 ．

 ．

 ．

 ．

【知识点】全等形的概念及性质、正多边形与圆、边角边

22.  【答案】

(1)   ；；

(2)   ；

【知识点】正多边形与圆、旋转及其性质、正方形的性质、勾股逆定理

23.  【答案】

(1)  

理由：

 ， 对着 ， 对着 ，

 ，

 ，即 ，

 ．

同理可证其余各边都相等，

  五边形 是正五边形．

(2)  由图知 对 ，

 ，而 对的 ，

 ．

同理可证，其余各角都等于 ，

故图 中六边形各角相等．

(3)  由（）、（）可知，当 （， 为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；

当 （， 为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．

【解析】

(1)   五边形的内角和 ，

 ．

【知识点】多边形的内外角和、正多边形与圆

24.  【答案】

(1)  连接 ，，作 于点 ，如图．

  的周长等于 ，

  半径 ．

  六边形 是正六边形，

 ，

 ，

 ，

  圆心 到 的距离 为 （）．

(2)  正六边形 的面积为 （）．

【知识点】正多边形的有关计算

25.  【答案】

(1)  如图所示，连接 ，．

  正三角形 内接于 ，

 ，．

又 ，，

 ．

 ．

 ．

(2)  ；

(3) 

【知识点】正多边形与圆、全等三角形的性质与判定

26.  【答案】 ，，

 ，

又 ，，

 ，

 ，

 ．

 ，，，

 ，

 ，

 ，．

 ，，

  是正五边形．

【知识点】等腰三角形的性质、正多边形与圆、弧、弦、圆心角的关系定理

27.  【答案】

(1)   （提示：连接 ，，证 ）

(2)   ；

(3)   ．

【知识点】正多边形的有关计算、正多边形与圆

28.  【答案】

(1)  ，

(2)  ①依题意 ，，

可求得直线 的解析式为 ．

经验证 在直线 上．

因为 ，，

所以 为等边三角形，

所以 边上的高长为 ．

当点 在 上时，．

所以当点 在 上时，点 都是等边 的中心关联点，

所以 ．

② ；

(3)  存在. ．

【知识点】一次函数的解析式、正多边形与圆、等边三角形的判定