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重庆市沙坪坝区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）
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这是一份重庆市沙坪坝区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．抛物线y＝x2+2x+的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．2a3﹣a2＝a D．2a2+a＝3a3
6．一元一次方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝12
7．如图，AB，AC是⊙O的切线，点B，C是切点，点D是⊙O上一点，连接DC和BD．若∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．130°
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．
9．如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡CE上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧水平距离为60米的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，建筑物AB和山坡CE的剖面的同一平面内，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．32.4米 B．20.4米 C．16.4米 D．15.4米
10．关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
11．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH＝2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣3|+＝ ．
14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 ．
15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字﹣1，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k，则正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为 ．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．已知A、B两地相距200千米，货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B地，货车甲以原速的返回A地．两辆货车之间的路程y（km）与货车甲出发的时间x（h）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计）．若点C的坐标是（1.6，120），点D的坐标是（3.6，0），则点E的坐标是 ．
18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（2﹣）÷．
20．（10分）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0≤t＜20，B：20≤t＜40，C：40≤t＜60，D：60≤t＜80，E：80≤t＜100），下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
a
580
八年级
50
b
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
22．（10分）数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．
例如：正整数24，因为2+4＝6且6÷6＝1，所以24是“六六大顺”数；
正整数125，因为1+2+5＝8且8÷6商1余2，所以125不是“六六大顺”数．
（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；
（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝||﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：
（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y＝||﹣1
…
﹣
﹣
﹣
1
3
3
1
0
﹣
﹣
…
（2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x的图形如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣1＜x的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
24．（10分）某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元．
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了a%（a＞0），单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了2a%，单价在11月份的基础上降低了a%．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，求a的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于点A（4，5），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点C为该抛物线的顶点，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE∥AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；
（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2个单位后得到的抛物线为y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG沿线AB方向平移，平移后得到△A'B'G'，其中点A的对应点为点A′，点B的对点为点B′，点G的对应点为点G′．在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG'B'是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点G．连接AD，点F是AD的中点，连接CF，EF．
（1）如图1，连接CE，求证：△CEF是等边三角形；
（2）如图2，在点D的运动过程中，当GC＝BC时，猜想线段EA，EF，ED之间的数量关系，并证明你的猜想结论；
（3）如图3，作CP∥DE交AB于点P，在PC延长线上取点Q，使CQ＝CP，连接QF．在点D的运动过程中，当QF取得最小值时，请直接写出tan∠FCQ的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
【分析】根据有理数的大小比较解答即可．
【解答】解：根据有理数比较大小法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，
∴0、1不符合题意，
∵|﹣4|＞|﹣3|，
∴﹣4＜﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【解答】解：图1中有1×2＝2个小圆圈，
图2中有2×2＝4个小圆圈，
图3中有3×2＝6个小圆圈，
…，
按此规律，
则图7中小圆圈的个数是7×2＝14个小圆圈，
故选：D．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
4．抛物线y＝x2+2x+的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【分析】根据抛物线的对称轴公式解决．
【解答】解：∵，
∴抛物线y＝x2+2x+的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决本题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．2a3﹣a2＝a D．2a2+a＝3a3
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A、a3÷a2＝a，故此选项正确；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、2a3﹣a2，无法计算，故此选项错误；
D、2a2+a，无法计算，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．一元一次方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝12
【分析】方程去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：，
去分母，得3x﹣12＝4x，
移项，得3x﹣4x＝12，
合并同类项，得﹣x＝12，
系数化为1，得x＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
7．如图，AB，AC是⊙O的切线，点B，C是切点，点D是⊙O上一点，连接DC和BD．若∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．130°
【分析】连接OB、OC，根据四边形的内角和定理，求得∠BOC＝130°，再由圆周角定理求得∠D的度数即可．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣∠OBA﹣∠OCA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵∠BOC＝2∠D，
∴∠D＝65°；
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．
【分析】直接利用位似图形的性质得出周长比，进而得出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），
∴矩形ABCD的周长为：4+6+4+6＝20，
∵以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比为：2：1，
∴矩形EFGH的周长为：10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9．如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡CE上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧水平距离为60米的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，建筑物AB和山坡CE的剖面的同一平面内，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．32.4米 B．20.4米 C．16.4米 D．15.4米
【分析】延长AB交DC延长线于点F，解直角三角形Rt△BCF，求出BF，CF，再根据AF＝DF•tan24°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：延长AB交DC延长线于点F，
由题意可知：AF⊥DF，
在Rt△BCF中，
∵＝＝，
设BF＝4k，FC＝3k，
∴BC＝5k，
∵BC＝20米，
∴5k＝20，
∴k＝4，
∴BF＝16米，FC＝12米，
∴AF＝AB+BF＝（AB+16）米，FD＝FC+CD＝12+60＝72（米），
在Rt△ADF中，∠D＝24°，
∴AF＝DF•tan24°，
∴AB+16≈72×0.45，
∴AB＝16.4（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】由一元一次不等式组的解集为x≤4，可求出m的范围，根据关于y的分式方程有整数解，可得m的值，从而得到答案．
【解答】解：由一元一次不等式组可得x≤2m+2且x≤4，
∵一元一次不等式组的解集为x≤4，
∴2m+2≥4，
∴m≥1，
分式方程变形为：，
两边同时乘以（y﹣2）得：my﹣2+y﹣2＝3y，
解得：y＝，
∵y﹣2≠0，
∴≠2，
∴m≠4，
∵分式方程有整数解，
∴为整数，
∴m﹣2＝±4或m﹣2＝±2或m﹣2＝±1
解得m＝6或﹣2或4或0或3或1，
∵m≥1且m≠4，
∴符合条件的所有整数m分别是：6、3、1，
∴符合条件的所有整数m的和为6+3+1＝10，
故选：B．
【点评】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是根据分式方程有整数解，求出m的值．
11．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据题意中线段之间的关系及翻折变换的性质易推出各三角形之间的关系：S△ADF＝2S△DFE，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF，S△ABD＝2S△ADC，从而推出AC＝5，AG＝3，再由∠DHE＝∠AGC，∠E＝∠C推出△DHE∽△AGC，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，
过点A作AG⊥BC，垂足为点G，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，
∵AF＝2EF，S△DFE＝1，
∴S△ADF＝2S△DFE＝2，
∵△AED由△ACD沿AD翻折得到，
∴DE＝DC＝2，∠E＝∠C，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝1+2＝3，
∵BD＝2DC＝4，
∴S△ABD＝2S△ADC＝2×3＝6，
∴×BD×AG＝6，即×4×AG＝6，
∴AG＝3，
∵AB＝AD，AD⊥BC，
∴BG＝DG＝DB＝2，
∴CG＝CD+DG＝2+2＝4，
∴AC＝＝＝5，
又∠DHE＝∠AGC＝90°，
∴△DHE∽△AGC，
∴，即，
解得DH＝，
∴点D到AE的距离为．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及翻折变换（折叠问题），解题的关键是根据题中已知的线段之间的关系推出各三角形之间的关系（S△ADF＝2S△DFE，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF，S△ABD＝2S△ADC），应充分结合题意作出相关辅助线．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH＝2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设BD＝a，表示出点D，由菱形的面积求AC表示出点C，结合DH＝2CH表示出点H，利用点H在反比例函数图象上，求出k．
【解答】解：设BD＝a，则D（，a），
∵S菱形ABCD＝×BD×AC＝6，
∴AC＝，
∴C（，），
∵DH＝2CH，
∴H（，），
∵点H在反比例函数图象上，
∴k＝×，
解得：k＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标、菱形的对角线互相垂直平分的性质和面积．关键是利用DH＝2CH表示出点H的坐标．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣3|+＝ 5 ．
【分析】首先根据负数的绝对值是它的相反数，求出|﹣3|的值是多少；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出的值是多少；最后把它们相加，求出算式|﹣3|+的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|+
＝3+2
＝5．
故答案为：5．
【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p＝（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 3.8×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：380000用科学记数法表示为：3.8×105．
故答案为：3.8×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字﹣1，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k，则正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限（k＞0）的结果有5个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限（k＞0）的结果有5个，
∴正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 8﹣2π ．（结果保留π）
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．
∴AB＝BC•sin45°＝，
∴S△ABC＝，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
以2为半径，180°扇形是半圆＝，
阴影面积＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，得出AD，BD的长是解题关键．
17．已知A、B两地相距200千米，货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B地，货车甲以原速的返回A地．两辆货车之间的路程y（km）与货车甲出发的时间x（h）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计）．若点C的坐标是（1.6，120），点D的坐标是（3.6，0），则点E的坐标是 （5.1，150） ．
【分析】由点C的坐标是（1.6，120）得货车甲行驶1.6h出现故障，此时距B地120km，货车甲行驶了200﹣120＝80（km），则货车甲的速度为80÷1.6＝50（km/h），由点D的坐标是（3.6，0）得3.6h货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，由题意可得货车乙从B地出发遇到货车甲用时3.6﹣1.6﹣0.5＝1.5（h），则货车乙以原速开往B地用时1.5h，即3.6+1.5＝5.1h货车乙回到B地，货车甲返回A地的时间为3.6+80÷（50×）＝7.6（h），可得点E的横坐标为货车乙到B地的时间，根据此时货车甲的速度即可的纵坐标．
【解答】解：由点C的坐标是（1.6，120）得货车甲行驶1.6h出现故障，此时距B地120km，货车甲行驶了200﹣120＝80（km），
∴货车甲的速度为80÷1.6＝50（km/h），
由点D的坐标是（3.6，0）得3.6h货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，
∴货车乙从B地出发遇到货车甲用时3.6﹣1.6﹣0.5＝1.5（h），
∴货车乙以原速开往B地用时1.5h，
∴3.6+1.5＝5.1（h）货车乙回到B地，
货车甲返回A地的时间为3.6+80÷（50×）＝7.6（h），
∴点E的横坐标为货车乙到B地的时间为5.1，纵坐标为120+1.5×（50×）＝150，
即点E的坐标是（5.1，150）．
故答案为：（5.1，150）．
【点评】本题考查了一次函数图象的应用，根据数形结合得到甲乙相应的路程以及相应的时间是解决本题的关键．
18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 8：3 ．
【分析】设甲、乙、两三种口罩的进价每只分别为a，b，c，丙售出x件，由售出甲、乙、丙数比为1：3：2时，利润为20%，售出甲、乙、丙数比为3：2：2时，利润为24%，分别列出等式求得a＝3c，b＝2c，设甲、乙两种口罩数量之比为A、B，再由只进甲、乙两种口罩，使总利润为28%，列出方程求得3A＝8B，即可得出答案．
【解答】解：设甲、乙、两三种口罩的进价每只分别为a，b，c，丙售出x件，
∵售出甲、乙、丙数比为1：3：2时，利润为20%，
∴＝20%①，
∵售出甲、乙、丙数比为3：2：2时，利润为24%，
∴＝24%②，
由①②式解得：a＝3c，b＝2c③，
现只进甲、乙两种口罩，使总利润为28%，设甲、乙两种口罩数量之比为A、B，
则由题意列方程：
＝28%④，
由③④式可解得：
＝0.28，即3A＝8B，
∴，
即只进购甲、乙两种口罩的数量之比为8：3．
故答案为：8：3．
【点评】本题考查了利用三元一次方程组解决实际问题，正确理解题意设出未知数，列出方程组是解题的关键．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（2﹣）÷．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2+x2+2xy
＝2x2+y2；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（10分）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0≤t＜20，B：20≤t＜40，C：40≤t＜60，D：60≤t＜80，E：80≤t＜100），下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
a
580
八年级
50
b
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
【分析】（1）根据百分比之和为1求出m的值，再根据中位数和众数的定义求解可得a、b的值；
（2）答案不唯一，合理即可；
（3）用总人数乘以七、八年级课外劳动时间不少于60小时的人数之和占被调查人数的比例即可．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（10%+20%+25%+15%）＝30%，即m＝30，
∵A、B时间段的人数为20×（10%+30%）＝8（人）、C时间段人数为4人，
∴七年级中位数a＝＝45，
八年级劳动时间的众数b＝50；
（2）八年级参加课外劳动的情况较好，
理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定（答案不唯一）；
（3）该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为800×＝300（人）．
【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）先由平行线的性质得到∠DAM＝∠AMB，由角平分线的定义得到∠BAM＝∠DAM，进而得到∠AMB＝∠BAM，再根据三角形内角和定理即可求出AMB的度数；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，由角平分线定义得出∠BAE＝∠DCF，证得△ABE≌△CDF，即可证得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠AMB＝∠BAM，
∵∠ABC＝70°，∠AMB+∠BAM+∠ABC＝180°，
∴∠AMB＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣70°）＝55°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
22．（10分）数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．
例如：正整数24，因为2+4＝6且6÷6＝1，所以24是“六六大顺”数；
正整数125，因为1+2+5＝8且8÷6商1余2，所以125不是“六六大顺”数．
（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；
（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
【分析】（1）根据题目中的定义，可以判断96和615是否是“六六大顺”数；
（2）根据题目中，“六六大顺”数的定义，利用分类讨论的方法，可以求得所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
【解答】解：（1）96不是“六六大顺数”，615是六六大顺”数，
理由：∵9+6＝15且15÷6＝2…3，6+1+5＝12且12÷6＝2，
∴96不是“六六大顺数”，615是六六大顺”数；
（2）设大于600且小于700的“六六大顺”的十位数字是a，个位数字是b，
由题意可得，6+a+b是6的倍数，
∴只要a+b是6的倍数即可，
∴a+b＝6，12或18，
当a+b＝6时，
，，，，，，，
此时满足条件的“六六大顺数”有7个；
当a+b＝12时，
，，，，，，，
此时满足条件的“六六大顺数”有7个；
当a+b＝18时，
，
此时满足条件的“六六大顺数”有1个；
由上可得，所有大于600且小于700的“六六大顺”数有7+7+1＝15（个），
即所有大于600且小于700的“六六大顺”数有15个．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝||﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：
（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y＝||﹣1
…
﹣
﹣
﹣
0
1
3
3
1
0
﹣
﹣
﹣
…
（2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x的图形如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣1＜x的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【分析】（1）将x＝0，6分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）观察图象即可得到；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝||﹣1＝0．
当x＝6时，y＝||﹣1＝﹣，
如图所示：画出函数的图象如图：
；
故答案为0，﹣；
（2）根据函数图象，该函数图象关于直线x＝2对称；
（3）由图象可知：不等式||﹣1＜x的解集为x＜0或1＜x＜2或2＜x＜2.5．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
24．（10分）某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元．
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了a%（a＞0），单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了2a%，单价在11月份的基础上降低了a%．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，求a的值．
【分析】（1）设该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为x元，B款羽绒服的销售单价为y元，根据“每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为x元，B款羽绒服的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为2000元，B款羽绒服的销售单价为2800元．
（2）依题意得：2000×1200（1+a%）+2800（1﹣a%）×800（1+2a%）＝4640000（1+a%），
整理得：192a2﹣4800a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于点A（4，5），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点C为该抛物线的顶点，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE∥AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；
（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2个单位后得到的抛物线为y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG沿线AB方向平移，平移后得到△A'B'G'，其中点A的对应点为点A′，点B的对点为点B′，点G的对应点为点G′．在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG'B'是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S四边形BPCE＝S△PEC+S△PEB＝S△PBE+S△APE＝S△ABP，即可求解；
（3）求出点G的坐标为（1，），则BG＝＝＝B′G′，①当OB′＝B′G′时，则＝，解得x＝﹣±；②当OG′＝B′G′时，得到直线GG′的表达式为y＝x+，则点G′的坐标为（x+1，x+1+），即（x+1，x+），进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线故点A、B，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+1①；
（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，交AB于点F，连接PA、CA，
∵PE∥AC，
∴S△PEC＝S△APE，
则S四边形BPCE＝S△PEC+S△PEB＝S△PBE+S△APE＝S△ABP，
设直线AB的表达式为y＝mx+n，则，解得，
∴直线AB的表达式为y＝x+1，
设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+1），则点F的坐标为（x，x+1），
则S△ABP＝PF•（xA﹣xB）＝×（﹣x2+3x+1﹣x﹣1）×4＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△PAB面积存在最大值，
故x＝2时，S△PAB 最大值＝4；
∴四边形BPCE面积最大值为4；
（3）存在，B′的横坐标为：﹣+或﹣﹣或﹣﹣或﹣+．
如图2，该抛物线沿射线AB方向平移 个单位，即沿x轴负方向平移2个单位．
平移后函数解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（x+2）+1﹣2＝﹣x2+x+3②，
联立①②并解得，故点G的坐标为（1，），
则BG＝＝＝B′G′，
设点B′的坐标为（x，x+1）；
①当OB′＝B′G′时，
则＝，
解得x＝﹣±；
②当OG′＝B′G′时，
由图象的平移知，GG′∥AB，
故设GG′的表达式为y＝x+t，
将点G的坐标代入上式得：＝1+t，解得t＝，
故直线GG′的表达式为y＝x+，
由点B′（x，x+1）得：点G′的坐标为（x+1，x+1+），即（x+1，x+），
则＝，
解得x＝﹣﹣或﹣+；
综上，B′的横坐标为：﹣+或﹣﹣或﹣﹣或﹣+．
【点评】本题考查了二次函数综合应用，主要考查了待定系数法，利用二次函数求几何图形面积的最大值，等腰三角形的性质等，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求出最大值，利用等腰三角形的性质列方程．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点G．连接AD，点F是AD的中点，连接CF，EF．
（1）如图1，连接CE，求证：△CEF是等边三角形；
（2）如图2，在点D的运动过程中，当GC＝BC时，猜想线段EA，EF，ED之间的数量关系，并证明你的猜想结论；
（3）如图3，作CP∥DE交AB于点P，在PC延长线上取点Q，使CQ＝CP，连接QF．在点D的运动过程中，当QF取得最小值时，请直接写出tan∠FCQ的值．
【分析】（1）由等边三角形的判定方法可得出答案；
（2）连接CE，过点C作CM⊥CE交DE于点M，证明△ACB≌△DCG（ASA），由全等三角形的性质得出AC＝DC，∠CAE＝∠CDM，证明△ACE≌△DCM（ASA），由全等三角形的性质得出EA＝MD，CE＝CM，得出△ECM是等腰直角三角形，由直角三角形的性质得出结论；
（3）取AC的中点M，当点D运动时，F点始终是AD的中点，连接MF，则MF是△ACD的中位线，即F在平行于CD的一条射线MF上运动，当QF⊥MF时，QF有最小值，由直角三角形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，∠AGE＝60°，
∵点F是AD的中点，
∴CF＝EF＝AF＝DF，∠FAE＝∠FEA，∠FCD＝∠FDC，
∴∠AFE＝180°﹣2∠FAE，∠CFD＝180°﹣2∠FDC，
∴∠AFE+∠CFD＝360°﹣2（∠FAE+∠FDC），
∵∠FAE+∠FDC＝180°﹣∠B，且∠B＝60°，
∴∠FAE+∠FDC＝120°，
∴∠AFE+∠CFD＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）解：猜想结论是：ED＝EA+EF，理由如下：
连接CE，过点C作CM⊥CE交DE于点M，
∴∠ECM＝90°，
∵∠CGD＝∠AGE＝60°，且∠B＝60°，
∴∠CGD＝∠B，
∵GC＝BC，∠ACB＝∠DCG＝90°，
∴△ACB≌△DCG（ASA），
∴AC＝DC，∠CAE＝∠CDM，
∵∠ACD＝90°，∠ECM＝90°，
即∠ACE+∠GCM＝∠DCM+∠GCM，
∴∠ACE＝∠DCM，
∴△ACE≌△DCM（ASA），
∴EA＝MD，CE＝CM，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴EM＝CE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝EF，
∴EM＝EF，
∴ED＝MD+EM＝EA+EF；
（3）取AC的中点M，当点D运动时，F点始终是AD的中点，连接MF，则MF是△ACD的中位线，
即F在平行于CD的一条射线MF上运动，当QF⊥MF时，QF有最小值，
设BC＝a，
∵∠B＝60°，DE⊥AB，CP∥DE，
∴CP＝BC＝a，MC＝a，
∵MF∥CD，CD⊥AC，QF⊥MF，
∴四边形MFHC矩形，
∴FH＝MC＝a，
∵∠HCQ＝∠PCB＝90°﹣∠B＝30°，∠Q＝90°﹣∠HCQ＝60°，CQ＝CP＝a，
∴HQ＝CQ＝a，FQ＝FH+HQ＝a，
过点F作FN⊥CQ，则FN＝FQ•sin∠Q＝a，NQ＝FQ•cos∠Q＝＝a，
∴CN＝CQ﹣NQ＝a＝a，
∴tan∠FCQ＝a＝3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
重庆市沙坪坝区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．抛物线y＝x2+2x+的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．2a3﹣a2＝a D．2a2+a＝3a3
6．一元一次方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝12
7．如图，AB，AC是⊙O的切线，点B，C是切点，点D是⊙O上一点，连接DC和BD．若∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．130°
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．
9．如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡CE上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧水平距离为60米的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，建筑物AB和山坡CE的剖面的同一平面内，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．32.4米 B．20.4米 C．16.4米 D．15.4米
10．关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
11．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH＝2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣3|+＝ ．
14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 ．
15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字﹣1，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k，则正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为 ．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．已知A、B两地相距200千米，货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B地，货车甲以原速的返回A地．两辆货车之间的路程y（km）与货车甲出发的时间x（h）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计）．若点C的坐标是（1.6，120），点D的坐标是（3.6，0），则点E的坐标是 ．
18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（2﹣）÷．
20．（10分）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0≤t＜20，B：20≤t＜40，C：40≤t＜60，D：60≤t＜80，E：80≤t＜100），下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
a
580
八年级
50
b
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
22．（10分）数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．
例如：正整数24，因为2+4＝6且6÷6＝1，所以24是“六六大顺”数；
正整数125，因为1+2+5＝8且8÷6商1余2，所以125不是“六六大顺”数．
（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；
（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝||﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：
（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y＝||﹣1
…
﹣
﹣
﹣
1
3
3
1
0
﹣
﹣
…
（2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x的图形如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣1＜x的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
24．（10分）某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元．
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了a%（a＞0），单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了2a%，单价在11月份的基础上降低了a%．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，求a的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于点A（4，5），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点C为该抛物线的顶点，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE∥AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；
（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2个单位后得到的抛物线为y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG沿线AB方向平移，平移后得到△A'B'G'，其中点A的对应点为点A′，点B的对点为点B′，点G的对应点为点G′．在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG'B'是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点G．连接AD，点F是AD的中点，连接CF，EF．
（1）如图1，连接CE，求证：△CEF是等边三角形；
（2）如图2，在点D的运动过程中，当GC＝BC时，猜想线段EA，EF，ED之间的数量关系，并证明你的猜想结论；
（3）如图3，作CP∥DE交AB于点P，在PC延长线上取点Q，使CQ＝CP，连接QF．在点D的运动过程中，当QF取得最小值时，请直接写出tan∠FCQ的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1
【分析】根据有理数的大小比较解答即可．
【解答】解：根据有理数比较大小法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，
∴0、1不符合题意，
∵|﹣4|＞|﹣3|，
∴﹣4＜﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【解答】解：图1中有1×2＝2个小圆圈，
图2中有2×2＝4个小圆圈，
图3中有3×2＝6个小圆圈，
…，
按此规律，
则图7中小圆圈的个数是7×2＝14个小圆圈，
故选：D．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
4．抛物线y＝x2+2x+的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【分析】根据抛物线的对称轴公式解决．
【解答】解：∵，
∴抛物线y＝x2+2x+的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决本题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．2a3﹣a2＝a D．2a2+a＝3a3
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A、a3÷a2＝a，故此选项正确；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、2a3﹣a2，无法计算，故此选项错误；
D、2a2+a，无法计算，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．一元一次方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝12
【分析】方程去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：，
去分母，得3x﹣12＝4x，
移项，得3x﹣4x＝12，
合并同类项，得﹣x＝12，
系数化为1，得x＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
7．如图，AB，AC是⊙O的切线，点B，C是切点，点D是⊙O上一点，连接DC和BD．若∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．130°
【分析】连接OB、OC，根据四边形的内角和定理，求得∠BOC＝130°，再由圆周角定理求得∠D的度数即可．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣∠OBA﹣∠OCA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵∠BOC＝2∠D，
∴∠D＝65°；
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．
【分析】直接利用位似图形的性质得出周长比，进而得出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（3，2），
∴矩形ABCD的周长为：4+6+4+6＝20，
∵以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比为：2：1，
∴矩形EFGH的周长为：10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9．如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡CE上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧水平距离为60米的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，建筑物AB和山坡CE的剖面的同一平面内，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．32.4米 B．20.4米 C．16.4米 D．15.4米
【分析】延长AB交DC延长线于点F，解直角三角形Rt△BCF，求出BF，CF，再根据AF＝DF•tan24°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：延长AB交DC延长线于点F，
由题意可知：AF⊥DF，
在Rt△BCF中，
∵＝＝，
设BF＝4k，FC＝3k，
∴BC＝5k，
∵BC＝20米，
∴5k＝20，
∴k＝4，
∴BF＝16米，FC＝12米，
∴AF＝AB+BF＝（AB+16）米，FD＝FC+CD＝12+60＝72（米），
在Rt△ADF中，∠D＝24°，
∴AF＝DF•tan24°，
∴AB+16≈72×0.45，
∴AB＝16.4（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】由一元一次不等式组的解集为x≤4，可求出m的范围，根据关于y的分式方程有整数解，可得m的值，从而得到答案．
【解答】解：由一元一次不等式组可得x≤2m+2且x≤4，
∵一元一次不等式组的解集为x≤4，
∴2m+2≥4，
∴m≥1，
分式方程变形为：，
两边同时乘以（y﹣2）得：my﹣2+y﹣2＝3y，
解得：y＝，
∵y﹣2≠0，
∴≠2，
∴m≠4，
∵分式方程有整数解，
∴为整数，
∴m﹣2＝±4或m﹣2＝±2或m﹣2＝±1
解得m＝6或﹣2或4或0或3或1，
∵m≥1且m≠4，
∴符合条件的所有整数m分别是：6、3、1，
∴符合条件的所有整数m的和为6+3+1＝10，
故选：B．
【点评】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是根据分式方程有整数解，求出m的值．
11．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据题意中线段之间的关系及翻折变换的性质易推出各三角形之间的关系：S△ADF＝2S△DFE，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF，S△ABD＝2S△ADC，从而推出AC＝5，AG＝3，再由∠DHE＝∠AGC，∠E＝∠C推出△DHE∽△AGC，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，
过点A作AG⊥BC，垂足为点G，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，
∵AF＝2EF，S△DFE＝1，
∴S△ADF＝2S△DFE＝2，
∵△AED由△ACD沿AD翻折得到，
∴DE＝DC＝2，∠E＝∠C，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝1+2＝3，
∵BD＝2DC＝4，
∴S△ABD＝2S△ADC＝2×3＝6，
∴×BD×AG＝6，即×4×AG＝6，
∴AG＝3，
∵AB＝AD，AD⊥BC，
∴BG＝DG＝DB＝2，
∴CG＝CD+DG＝2+2＝4，
∴AC＝＝＝5，
又∠DHE＝∠AGC＝90°，
∴△DHE∽△AGC，
∴，即，
解得DH＝，
∴点D到AE的距离为．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及翻折变换（折叠问题），解题的关键是根据题中已知的线段之间的关系推出各三角形之间的关系（S△ADF＝2S△DFE，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF，S△ABD＝2S△ADC），应充分结合题意作出相关辅助线．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH＝2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设BD＝a，表示出点D，由菱形的面积求AC表示出点C，结合DH＝2CH表示出点H，利用点H在反比例函数图象上，求出k．
【解答】解：设BD＝a，则D（，a），
∵S菱形ABCD＝×BD×AC＝6，
∴AC＝，
∴C（，），
∵DH＝2CH，
∴H（，），
∵点H在反比例函数图象上，
∴k＝×，
解得：k＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标、菱形的对角线互相垂直平分的性质和面积．关键是利用DH＝2CH表示出点H的坐标．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣3|+＝ 5 ．
【分析】首先根据负数的绝对值是它的相反数，求出|﹣3|的值是多少；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出的值是多少；最后把它们相加，求出算式|﹣3|+的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|+
＝3+2
＝5．
故答案为：5．
【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p＝（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 3.8×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：380000用科学记数法表示为：3.8×105．
故答案为：3.8×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字﹣1，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k，则正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限（k＞0）的结果有5个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限（k＞0）的结果有5个，
∴正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 8﹣2π ．（结果保留π）
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．
∴AB＝BC•sin45°＝，
∴S△ABC＝，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
以2为半径，180°扇形是半圆＝，
阴影面积＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，得出AD，BD的长是解题关键．
17．已知A、B两地相距200千米，货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B地，货车甲以原速的返回A地．两辆货车之间的路程y（km）与货车甲出发的时间x（h）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计）．若点C的坐标是（1.6，120），点D的坐标是（3.6，0），则点E的坐标是 （5.1，150） ．
【分析】由点C的坐标是（1.6，120）得货车甲行驶1.6h出现故障，此时距B地120km，货车甲行驶了200﹣120＝80（km），则货车甲的速度为80÷1.6＝50（km/h），由点D的坐标是（3.6，0）得3.6h货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，由题意可得货车乙从B地出发遇到货车甲用时3.6﹣1.6﹣0.5＝1.5（h），则货车乙以原速开往B地用时1.5h，即3.6+1.5＝5.1h货车乙回到B地，货车甲返回A地的时间为3.6+80÷（50×）＝7.6（h），可得点E的横坐标为货车乙到B地的时间，根据此时货车甲的速度即可的纵坐标．
【解答】解：由点C的坐标是（1.6，120）得货车甲行驶1.6h出现故障，此时距B地120km，货车甲行驶了200﹣120＝80（km），
∴货车甲的速度为80÷1.6＝50（km/h），
由点D的坐标是（3.6，0）得3.6h货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，
∴货车乙从B地出发遇到货车甲用时3.6﹣1.6﹣0.5＝1.5（h），
∴货车乙以原速开往B地用时1.5h，
∴3.6+1.5＝5.1（h）货车乙回到B地，
货车甲返回A地的时间为3.6+80÷（50×）＝7.6（h），
∴点E的横坐标为货车乙到B地的时间为5.1，纵坐标为120+1.5×（50×）＝150，
即点E的坐标是（5.1，150）．
故答案为：（5.1，150）．
【点评】本题考查了一次函数图象的应用，根据数形结合得到甲乙相应的路程以及相应的时间是解决本题的关键．
18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 8：3 ．
【分析】设甲、乙、两三种口罩的进价每只分别为a，b，c，丙售出x件，由售出甲、乙、丙数比为1：3：2时，利润为20%，售出甲、乙、丙数比为3：2：2时，利润为24%，分别列出等式求得a＝3c，b＝2c，设甲、乙两种口罩数量之比为A、B，再由只进甲、乙两种口罩，使总利润为28%，列出方程求得3A＝8B，即可得出答案．
【解答】解：设甲、乙、两三种口罩的进价每只分别为a，b，c，丙售出x件，
∵售出甲、乙、丙数比为1：3：2时，利润为20%，
∴＝20%①，
∵售出甲、乙、丙数比为3：2：2时，利润为24%，
∴＝24%②，
由①②式解得：a＝3c，b＝2c③，
现只进甲、乙两种口罩，使总利润为28%，设甲、乙两种口罩数量之比为A、B，
则由题意列方程：
＝28%④，
由③④式可解得：
＝0.28，即3A＝8B，
∴，
即只进购甲、乙两种口罩的数量之比为8：3．
故答案为：8：3．
【点评】本题考查了利用三元一次方程组解决实际问题，正确理解题意设出未知数，列出方程组是解题的关键．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（2﹣）÷．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2+x2+2xy
＝2x2+y2；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（10分）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0≤t＜20，B：20≤t＜40，C：40≤t＜60，D：60≤t＜80，E：80≤t＜100），下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40，40，50，55．
八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．
七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
50
35
a
580
八年级
50
b
50
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．
【分析】（1）根据百分比之和为1求出m的值，再根据中位数和众数的定义求解可得a、b的值；
（2）答案不唯一，合理即可；
（3）用总人数乘以七、八年级课外劳动时间不少于60小时的人数之和占被调查人数的比例即可．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（10%+20%+25%+15%）＝30%，即m＝30，
∵A、B时间段的人数为20×（10%+30%）＝8（人）、C时间段人数为4人，
∴七年级中位数a＝＝45，
八年级劳动时间的众数b＝50；
（2）八年级参加课外劳动的情况较好，
理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定（答案不唯一）；
（3）该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为800×＝300（人）．
【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）先由平行线的性质得到∠DAM＝∠AMB，由角平分线的定义得到∠BAM＝∠DAM，进而得到∠AMB＝∠BAM，再根据三角形内角和定理即可求出AMB的度数；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，由角平分线定义得出∠BAE＝∠DCF，证得△ABE≌△CDF，即可证得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠AMB＝∠BAM，
∵∠ABC＝70°，∠AMB+∠BAM+∠ABC＝180°，
∴∠AMB＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣70°）＝55°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
22．（10分）数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．
例如：正整数24，因为2+4＝6且6÷6＝1，所以24是“六六大顺”数；
正整数125，因为1+2+5＝8且8÷6商1余2，所以125不是“六六大顺”数．
（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；
（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
【分析】（1）根据题目中的定义，可以判断96和615是否是“六六大顺”数；
（2）根据题目中，“六六大顺”数的定义，利用分类讨论的方法，可以求得所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．
【解答】解：（1）96不是“六六大顺数”，615是六六大顺”数，
理由：∵9+6＝15且15÷6＝2…3，6+1+5＝12且12÷6＝2，
∴96不是“六六大顺数”，615是六六大顺”数；
（2）设大于600且小于700的“六六大顺”的十位数字是a，个位数字是b，
由题意可得，6+a+b是6的倍数，
∴只要a+b是6的倍数即可，
∴a+b＝6，12或18，
当a+b＝6时，
，，，，，，，
此时满足条件的“六六大顺数”有7个；
当a+b＝12时，
，，，，，，，
此时满足条件的“六六大顺数”有7个；
当a+b＝18时，
，
此时满足条件的“六六大顺数”有1个；
由上可得，所有大于600且小于700的“六六大顺”数有7+7+1＝15（个），
即所有大于600且小于700的“六六大顺”数有15个．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝||﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：
（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y＝||﹣1
…
﹣
﹣
﹣
0
1
3
3
1
0
﹣
﹣
﹣
…
（2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x的图形如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣1＜x的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【分析】（1）将x＝0，6分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）观察图象即可得到；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝||﹣1＝0．
当x＝6时，y＝||﹣1＝﹣，
如图所示：画出函数的图象如图：
；
故答案为0，﹣；
（2）根据函数图象，该函数图象关于直线x＝2对称；
（3）由图象可知：不等式||﹣1＜x的解集为x＜0或1＜x＜2或2＜x＜2.5．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
24．（10分）某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元．
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了a%（a＞0），单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了2a%，单价在11月份的基础上降低了a%．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，求a的值．
【分析】（1）设该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为x元，B款羽绒服的销售单价为y元，根据“每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为x元，B款羽绒服的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该专卖店11月份A款羽绒服的销售单价为2000元，B款羽绒服的销售单价为2800元．
（2）依题意得：2000×1200（1+a%）+2800（1﹣a%）×800（1+2a%）＝4640000（1+a%），
整理得：192a2﹣4800a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于点A（4，5），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点C为该抛物线的顶点，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE∥AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；
（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2个单位后得到的抛物线为y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG沿线AB方向平移，平移后得到△A'B'G'，其中点A的对应点为点A′，点B的对点为点B′，点G的对应点为点G′．在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG'B'是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S四边形BPCE＝S△PEC+S△PEB＝S△PBE+S△APE＝S△ABP，即可求解；
（3）求出点G的坐标为（1，），则BG＝＝＝B′G′，①当OB′＝B′G′时，则＝，解得x＝﹣±；②当OG′＝B′G′时，得到直线GG′的表达式为y＝x+，则点G′的坐标为（x+1，x+1+），即（x+1，x+），进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线故点A、B，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+1①；
（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，交AB于点F，连接PA、CA，
∵PE∥AC，
∴S△PEC＝S△APE，
则S四边形BPCE＝S△PEC+S△PEB＝S△PBE+S△APE＝S△ABP，
设直线AB的表达式为y＝mx+n，则，解得，
∴直线AB的表达式为y＝x+1，
设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+1），则点F的坐标为（x，x+1），
则S△ABP＝PF•（xA﹣xB）＝×（﹣x2+3x+1﹣x﹣1）×4＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△PAB面积存在最大值，
故x＝2时，S△PAB 最大值＝4；
∴四边形BPCE面积最大值为4；
（3）存在，B′的横坐标为：﹣+或﹣﹣或﹣﹣或﹣+．
如图2，该抛物线沿射线AB方向平移 个单位，即沿x轴负方向平移2个单位．
平移后函数解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（x+2）+1﹣2＝﹣x2+x+3②，
联立①②并解得，故点G的坐标为（1，），
则BG＝＝＝B′G′，
设点B′的坐标为（x，x+1）；
①当OB′＝B′G′时，
则＝，
解得x＝﹣±；
②当OG′＝B′G′时，
由图象的平移知，GG′∥AB，
故设GG′的表达式为y＝x+t，
将点G的坐标代入上式得：＝1+t，解得t＝，
故直线GG′的表达式为y＝x+，
由点B′（x，x+1）得：点G′的坐标为（x+1，x+1+），即（x+1，x+），
则＝，
解得x＝﹣﹣或﹣+；
综上，B′的横坐标为：﹣+或﹣﹣或﹣﹣或﹣+．
【点评】本题考查了二次函数综合应用，主要考查了待定系数法，利用二次函数求几何图形面积的最大值，等腰三角形的性质等，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求出最大值，利用等腰三角形的性质列方程．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点G．连接AD，点F是AD的中点，连接CF，EF．
（1）如图1，连接CE，求证：△CEF是等边三角形；
（2）如图2，在点D的运动过程中，当GC＝BC时，猜想线段EA，EF，ED之间的数量关系，并证明你的猜想结论；
（3）如图3，作CP∥DE交AB于点P，在PC延长线上取点Q，使CQ＝CP，连接QF．在点D的运动过程中，当QF取得最小值时，请直接写出tan∠FCQ的值．
【分析】（1）由等边三角形的判定方法可得出答案；
（2）连接CE，过点C作CM⊥CE交DE于点M，证明△ACB≌△DCG（ASA），由全等三角形的性质得出AC＝DC，∠CAE＝∠CDM，证明△ACE≌△DCM（ASA），由全等三角形的性质得出EA＝MD，CE＝CM，得出△ECM是等腰直角三角形，由直角三角形的性质得出结论；
（3）取AC的中点M，当点D运动时，F点始终是AD的中点，连接MF，则MF是△ACD的中位线，即F在平行于CD的一条射线MF上运动，当QF⊥MF时，QF有最小值，由直角三角形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，∠AGE＝60°，
∵点F是AD的中点，
∴CF＝EF＝AF＝DF，∠FAE＝∠FEA，∠FCD＝∠FDC，
∴∠AFE＝180°﹣2∠FAE，∠CFD＝180°﹣2∠FDC，
∴∠AFE+∠CFD＝360°﹣2（∠FAE+∠FDC），
∵∠FAE+∠FDC＝180°﹣∠B，且∠B＝60°，
∴∠FAE+∠FDC＝120°，
∴∠AFE+∠CFD＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）解：猜想结论是：ED＝EA+EF，理由如下：
连接CE，过点C作CM⊥CE交DE于点M，
∴∠ECM＝90°，
∵∠CGD＝∠AGE＝60°，且∠B＝60°，
∴∠CGD＝∠B，
∵GC＝BC，∠ACB＝∠DCG＝90°，
∴△ACB≌△DCG（ASA），
∴AC＝DC，∠CAE＝∠CDM，
∵∠ACD＝90°，∠ECM＝90°，
即∠ACE+∠GCM＝∠DCM+∠GCM，
∴∠ACE＝∠DCM，
∴△ACE≌△DCM（ASA），
∴EA＝MD，CE＝CM，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴EM＝CE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝EF，
∴EM＝EF，
∴ED＝MD+EM＝EA+EF；
（3）取AC的中点M，当点D运动时，F点始终是AD的中点，连接MF，则MF是△ACD的中位线，
即F在平行于CD的一条射线MF上运动，当QF⊥MF时，QF有最小值，
设BC＝a，
∵∠B＝60°，DE⊥AB，CP∥DE，
∴CP＝BC＝a，MC＝a，
∵MF∥CD，CD⊥AC，QF⊥MF，
∴四边形MFHC矩形，
∴FH＝MC＝a，
∵∠HCQ＝∠PCB＝90°﹣∠B＝30°，∠Q＝90°﹣∠HCQ＝60°，CQ＝CP＝a，
∴HQ＝CQ＝a，FQ＝FH+HQ＝a，
过点F作FN⊥CQ，则FN＝FQ•sin∠Q＝a，NQ＝FQ•cos∠Q＝＝a，
∴CN＝CQ﹣NQ＝a＝a，
∴tan∠FCQ＝a＝3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
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