必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直综合训练题

8.6 空间直线、平面的垂直（2）（精炼）

【题组一 线线角】

1．（2021·河南驻马店市·高一期末）在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为四棱锥中，底面，，

所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.

而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.

2．（2021·河南焦作市·高一期末）如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，所以即为异面直线与所成的角（或补角），易得，所以.

故选：C．

3．（2021·浙江高一期末）已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)中，，则直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正四面体的棱长为3，则,

过作交于点,则与所成角即为与所成角，

,,在中，,

即,同理,

所以.

故选：A.

4．（2021·全国高一课时练习）正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图：

∵，∴直线与直线所成角为，

∵是等边三角形，∴，

∵平面，∴直线与平面所成角为，

∵是等腰直角三角形，∴，

故选：D.

5．（2020·全国高一单元测试）如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在三棱柱中，，

异面直线与所成的角为或其补角，

连接，底面，平面，

，又，，

平面，

又平面，，

由，可得，

，，

又，，

在△中，，

即异面直线与所成角的余弦值为．

故选：A．

6．（2020·浙江高一期末）在正方体中，和分别为，和的中点．，那么直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，

所以是异面直线和所成的角或其补角，

设异面直线和所成的角为，设正方体的边长为，

，，

则.

故选：A.

7．（2020·浙江高一期末）已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连接，

∵四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，

∴四边形为正方形.连接交于点 ，（或其补角)为异面直线与所成的角，

由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为90°.

故选：A.

8．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，取的中点，连接、，

、分别为、的中点，，

所以，为异面直线与所成的角，

设，则，，

由，可知，，

即异面直线与所成的角等于.

故选：B.

9．（2021·浙江高一期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，.

（Ⅰ）若是与的交点，求证：平面；

（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（1）连接与交于点，连.

，，且是和的中点，

，,和为平面内的两条相交直线，

平面.

（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），

根据题意得

所以，，

所以，

故

10．（2021·六盘山高级中学高一期末）已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】

【解析】

连接，，在正方体中，易知，

所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，

记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，

又，

所以.

即异面直线与所成角的余弦值为.

【题组二 线面角】

1．（2021·全国高一课时练习）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

（1）证明：BC面PAC；

（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】证明：(1)为圆O直径

∠ACB=90°即AC⊥BC

PA⊥面ABC，PA⊥BC

ACPA=A

BC⊥面PAC.

(2)BC⊥面PAC，

∠BPC为PB与平面PAC所成的角，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，,

在直角三角形中，tan∠BPC=.

故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.

2．（2020·浙江高一期末）如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，，．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）过P作PE⊥CD，交CD于点E，连接BE

∵，

所以CE=2，又因为,且

所以

∴BE⊥BC

∴AD⊥BE

又因为平面平面且PE⊥BC

∴AD⊥PE

∴AD⊥面PEB

∴

（2）∵

∴与平面所成角即为EC与平面所成角

过E作EF⊥PB，交PB于F点，连接CF，易知EF⊥平面PBC

所以∠ECF为与平面所成角，

因为PE=2，

根据等面积法得到

所以与平面所成角的正弦值为.

3．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成的角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形中，

，，，

∴，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∴，

∵，，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴.

（2）由（1）得平面，∵平面，∴平面平面，

过点在平面内作，垂足为点，

平面平面，平面平面，，平面，平面，

∴即为直线与平面所成角，

中，，，，

所以，，且，

∴，∴，

∴直线与平面所成的角的正弦值为.

4．（2020·江苏高一期中）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与底面所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连，则

又面，面，平面；

（2）连，取中点，连，则

由面与底面垂直，且面，可得面

则为直线与底面所成角

设，则；，则；

，即

则直线与底面所成角的大小为

5．（2021·河南洛阳市·高一期末）如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.

(1)求；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1)证明：平面,平面.

.

又,,

平面.

平面平面.

又平面平面,平面,,

平面.

又平面,

.

(2)由(1)知平面,连结,

则就是在平面内的射影.

就是与平面所成的角.

,,,.

.

在中,.

与平面所成角的正弦值为.

6．（2021·浙江高一期末）在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）连接交于，连接.

则点为的重心，有.

因为，

所以，且平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为，，，

所以，

故，所以，且，平面，

所以平面.

过作的平行线，交于.

则平面.

所以直线与平面所成角为.

且，，，

所以，得.

所以直线与平面所成的角为，

即直线与平面所成的角为.

7．（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）作的中点,连接,

因为三棱柱所有的棱长均为1

,

又四边形为正方形，,

面

又四边形是菱形，所以

面

（Ⅱ）作

因为三棱柱,

由题知,

所以△是等边三角形，

△是等边三角形，,

面 , 面，所以，

面 , 是面的垂线，是平面的斜线 ,即为所求角.

在三角形中由平面几何知识得

故直线和平面所成角的正弦值为

【题组三 面面角】

1（2021·河南高一期末）如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）证明：设，连接，则是中点，又是中点，

∴，又平面，平面，

∴平面．

（2）平面，平面，∴，同理，又正方形中，

，平面，

∴平面，又∵平面，

∴平面平面；

（3）∵平面，平面，∴，

∴是二面角的平面角，

由已知，而，分别是中点，

∴，∴．

即二面角的大小为．

2．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥中，，底面为矩形，平面平面，O､E分别是棱､的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取中点，连接，

因为是中点，∴，且，

又是矩形，，是中点，

∴，∴是平行四边形，∴，

而平面，平面，∴平面．

（2）取中点，连接，

是矩形，是中点，则，

又，∴，

而平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∵平面，∴，．

，平面，∴平面，而平面，

∴，∴（或其补角）是二面角的平面角．

设，则，，，

∴，，∴．

∴二面角的大小为．

3．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.

（1）求证：；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】（1）在棱柱中，面，面，

面面，由线面平行的性质定理有，

又，故；

（2）证明：在底面中，，，.

， ，

又因为侧棱底面，则底面

面，

又，面

过点作于，连接，则是二面角的平面角．

，，

则，故，

，．

设，则．

，

故，故．

4．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求直线PA与平面ABCD所成角的大小；

（2）求证：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）60.

【解析】（1）因为侧棱平面，

所以为直线在平面上的射影，，

故即为直线PA与平面ABCD所成的角，

又，所以，

所以直线PA与平面ABCD所成的角为；

（2）证明：因为侧棱平面，平面，所以，

又，，所以平面，，

由可得，

又，所以平面，，

因为，，

所以平面；

（3）由（2）知，所以为二面角的平面角，

不妨设，则，，，

在中，由余弦定理得，

所以二面角的大小为60.

5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】证明：

（1）取的中点，连接，

于是，又，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，而面，面，

所以直线平面；

（2）连接，∵ 四边形为菱形，，

为的中点，∴，∵平面平面，

且平面平面，平面平面，

且平面平面，

∴平面，又，∴，

∴就是二面角的平面角，设棱长为2，

则，∴，

∴二面角的大小为.

6．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图所示，在三棱锥中，平面，，且，，是的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）取线段中点，连接、、，则，且，

从而或其补角就是直线与所成的角.

平面，平面，，同理可得，

为的中点，则，，

，为的中点，则，

，，，则，

由余弦定理可得，

因此，异面直线与所成角的余弦值为；

（2）可知二面角的平面角与二面角的平面角互补.

在平面内作直线于，连接，

平面，平面，，同理可得，

，，平面，

平面，，所以，二面角的平面角为，

在中，由余弦定理得，

由等面积法可得，，

在中，，二面角的正切值为.

7．（2021·河南洛阳市·高一期末）在棱长为2的正方体中，是底面的中心.

（1）求证:平面;

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：连接，设，连接.

且，

是平行四边形.

.

又平面，平面，

平面.

（2），，且，

平面.

平面平面，且交线为.

在平面内，过点作于，则平面，

即的长就是点到平面的距离.

在矩形中，连接，，则，

.

即点到平面的距离为.