高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第2课时当堂检测题

第2课时　函数的最大值、最小值

一、利用函数的图象求最值

活动与探究1

求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．

迁移与应用

1．如图是函数y＝f(x)在[－4,7]上的图象，则函数f(x)的最小值为________，最大值为________．

2．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．

函数图象在给定区间上最高点的纵坐标为函数的最大值，最低点的纵坐标为函数的最小值．因此，如果已知函数的图象，可直接写出函数的最大值与最小值．

二、利用函数的单调性求最值

活动与探究2

已知函数f(x)＝.

(1)证明函数f(x)在上是减函数；

(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．

迁移与应用

1．函数f(x)＝2－3x，当x∈[－2,3]时的最小值为______，最大值为______．

2．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．

若函数f(x)在[a，b]上是单调增(或减)函数，则函数f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)(或f(a))，最小值为f(a)(或f(b))．因而，运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法．

三、二次函数在给定区间上的最值

活动与探究3

求函数f(x)＝x2－4x＋3在下列各区间上的最值：

(1)x∈[3,5]；(2)x∈[－2,1]；(3)x∈[1,4]．

迁移与应用

1．函数f(x)＝－x2－2x＋1在区间[0,2]上是__________函数(填“增”或“减”)，则f(x)的最小值为__________，最大值为__________．

2．函数f(x)＝－x2－2x＋1在区间[－4，－2]上是__________(填“增”或“减”)函数，则f(x)的最小值为__________，最大值为__________．

3．函数f(x)＝－x2－2x＋1在[－2,0]上的最大值为__________，最小值为__________．

求二次函数在给定区间上的最值，应看图象的对称轴与区间的关系．若区间在对称轴的一侧，则直接应用函数的单调性写出函数的最值；若对称轴在区间内，则应先弄清函数的单调区间，再求出函数的最值．

活动与探究4

求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．

迁移与应用

1．已知函数y＝－x2－2ax在[0,1]上的最大值为a2，则实数a的取值范围是________．

2．求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[t，t＋1]上的最小值g(t)．

若所给二次函数或区间含有参数，求最值时，应先讨论对称轴与区间的关系，确定函数在所给区间上的单调性，再根据单调性写出函数的最值．讨论时一般分以下三种情况：①对称轴在区间的左边；②对称轴在区间的右边；③对称轴在区间内．

当堂检测

1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．f(－2),0　　　B．0,2

C．f(－2),2      D．f(2),2

2．函数f(x)＝－x2＋6x＋8在[－2,1]上的最大值是(　　)

A．－8      B．13      C．17      D．8

3．已知函数y＝，在[2,4]上的最大值为1，则k的值为(　　)

A．2      B．－4      C．2或－4      D．4

4．函数f(x)＝在[－6,0]上的最大值为______，最小值为______．

5．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a＞0)在[－4,4]上的最大值为________．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．f (x)≤M　f(x0)＝M

2．(1)f(x)≥M　f(x0)＝M

预习交流1　提示：函数的最大值在函数图象的最高点取得，最小值在函数图象的最低点取得．

预习交流2　f(a)　f(b)　[f(a)，f(b)]　最小值是f(b)，没有最大值　[f(b)，f(a))

预习交流3　提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素和最大元素．任何一个函数，其值域必定存在，但最值不一定存在．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：对于含绝对值的函数，常通过讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究，分段函数的图象注意分段作出．

解：y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图象可知，y∈[－3,3]，所以函数的最大值为3，最小值为－3.

迁移与应用　1．－2　3

2．解：y=－|x－1|+2=

图象如图所示，

由图象知，函数y=－|x－1|+2的最大值为2，没有最小值．

所以其值域为(－∞，2]．

活动与探究2　(1)证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，

f(x1)－f(x2)＝－＝.

由于x2＞x1＞，所以x2－x1＞0，且(2x1－1)(2x2－1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)＝在区间(，＋∞)上是减函数．

(2)解：由(1)知函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.

迁移与应用　1．－7　8　解析：∵函数f(x)＝2－3x在[－2,3]上是减函数，

∴函数f(x)＝2－3x的最小值为f(3)＝2－3×3＝－7，

最大值为f(－2)＝2－3×(－2)＝8.

2．解：任取2≤x1＜x2≤5，

则f(x2)－f(x1)＝－＝，

∵2≤x1＜x2≤5，

∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.

∴f(x2)－f(x1)＜0.

∴f(x2)＜f(x1)．

∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．

∴f(x)max＝f(2)＝＝2，

f(x)min＝f(5)＝＝.

活动与探究3　思路分析：利用函数在所给区间上的单调性求解．

解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，其对称轴为直线x＝2，且抛物线开口向上．

(1)函数f(x)在区间[3,5]上是增函数，函数f(x)的最小值为f(3)＝0，最大值为f(5)＝8；

(2)函数f(x)在区间[－2,1]上是减函数，函数f(x)的最小值为f(1)＝0，最大值为f(－2)＝15；

(3)函数f(x)在[1,2)上是减函数，在[2,4]上是增函数，所以f(x)的最小值为f (2)＝－1.

又f(1)＝0，f(4)＝3，所以f(x)的最大值为3.

迁移与应用　1．减　－7　1

2．增　－7　1

3．2　1　解析：∵f(x)＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2的图象的对称轴为直线x＝－1，∴函数f(x)在[－2，－1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，∴f(x)的最大值为f(－1)＝2.又f(－2)＝1，f(0)＝1，所以f(x)的最小值为1.

活动与探究4　思路分析：讨论二次函数图象的对称轴跟区间的关系．从而确定函数在[2,4]上的单调性，再根据单调性求出函数的最小值．

解：∵函数图象的对称轴是直线x＝a，

∴当a＜2时，

f(x)在[2,4]上是增函数，

∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.

当a＞4时，f(x)在[2,4]上是减函数，

∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.

当2≤a≤4时，

f(x)min＝f(a)＝2－a2.

∴f(x)min＝

迁移与应用　1．[－1,0]　解析：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，

∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴x＝－a.

又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，

∴0≤－a≤1，∴－1≤a≤0.

∴实数a的取值范围是[－1,0]．

2．解：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1.

①当t＞1时，

f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，

f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.

②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，

此时g(t)＝f(1)＝2.

③当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，

此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.

综上得g(t)＝

【当堂检测】

1．C

2．B　解析：f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17，

∴函数f(x)在[－2,1]上是增函数．

∴f(x)的最大值为f(1)＝13.

3．A　解析：当k＞0时，函数y＝在[2,4]上是减函数，

∴＝1，k＝2.

当k＜0时，函数y＝在[2,4]上是增函数，

∴＝1，k＝4.

∵k＜0，∴k无解．综上所述k＝2.

4．－　－2　解析：易知函数f(x)在[－6,0]上是减函数，

∴f(x)的最大值为f(－6)＝－，

最小值为f(0)＝－2.

5．9a＋17　解析：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，

当0＜a＜4时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数．又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)＞f(4)．所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.当a≥4时，f(x)在[－4,4]上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.