初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系教案

圆和圆的位置关系

教学目标：

1．知识与技能
　　掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题.观察与现实生活有关的图片，丰富对现实空间圆的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维.
2.过程与方法
　　让师生共同探究圆与圆的位置关系的过程，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；能用观察、实验、归纳、分类、概括、猜想、验证等数学方法，得出圆和圆的五种位置关系的性质和判定.
3.情感与态度与价值观
　　通过探究过程，满足对数学的好奇心与求知欲，并体验成功的喜悦.

教法及学法指导：

教法指导:课标要求教师要激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生进行自主探究和合作交流.因此教学中我采取观察、类比、实验、探究为主的教学方法.另外在教学中,运用多媒体课件进行动态和直观的演示,使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,而且这样可以激发学生的学习兴趣,符合数学论中的直观性和可接受性.

学法指导:在《圆与圆的位置关系》的教学中,教会学生亲身尝试, 最后抽象知识,并掌握知识.

课前准备：

教师准备：课件、硬纸板、圆规

学生准备：硬币、圆规，预习课本第132~138页

课前活动：以小组为单位，收集含有两个圆的图案，有什么发现？与同学们交流体验．

【设计意图】让学生动手收集，寻找生活中的圆和圆的图形，初步感受日常生活中的圆和圆的位置关系，体会数学来源于生活,也为本节课的学习打下基础．

【实际效果】学生积极性很高，收集了很多形状不同的图形，验证了两个圆形有不同的位置关系,并且产生了探索如何判断两圆位置关系的兴趣．

教学过程：

一、创设情境

师：请各小组先说一说你们寻找的含有两圆的图案．

生：自行车的两个轮子.

生：路口的红绿灯.

生：奥运五环标志

生：老师,我那次把我的机械表后盖打开了,里面好多车轮,好像也都是圆形的．

生：………………….

师:：是的,通过同学们的收集,我们发现有很多这样的图案.这些图案中两圆的位置关系是一样的吗?

生：不是．

师：我们生活在丰富多彩的图形世界里，圆与圆组成的图形是我们生活中最常见的画面.

【设计意图】展现生活中圆与圆组成的图形并由学生举出实例，丰富学生对客观世界中两个圆之间多种不同位置关系的感受，为学生自主探索提供可能.

【实际效果】学生搜集的图案和实例各式各样，涉及图标（如奥迪汽车标志，奥运会标志）、机械（如齿轮，钟表，自行车前后轮）、天文现象（如日食，月食）、城市景观等等；来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网调查，有的在学校内观察，有的走向街头，还有的向家长了解.这些都充分展现了学生走进生活感受数学的热情.

附部分学生收集的图案：

二、感知探究

1．圆和圆的位置关系

圆和圆有哪些位置关系？（分组讨论）

师：每人都在纸上画一个半径为2cm的圆，每个人都准备一个硬币当作另一个圆，在纸上移动硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数.

让学生自己画出可能会出现的几种情况，并标清交点的个数（按从远到近的顺序）,

师:哪位同学来投影下自己小组总结的情况?

生:老师,我来.

师:还有哪位同学来展示?

生:老师,我.

师:同学们画的都挺漂亮啊?不知道同学们发现圆和圆有几种位置关系呢?

生：四种.

生：不对，五种.

师：那你给大家展示下你们画的.(其余同学皆点头)

师：总体来说，圆和圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含.

然后电脑展示下列过程.

【设计意图】让学生体会用运动的观点全面观察，正确归纳两圆的位置关系.

【实际效果】通过学生动手及小组合作，初步对圆和圆有几种位置关系有了一个认识.

  师：试一试你们小组能不能描述两圆的各种位置关系？

学生思考回答，师生共同总结：

1．两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，如上图中的（1）、（5）、（6），它们又有何区别？讨论得出其中（1）叫外离，（5）（6）叫内含，（6）是两圆同心，是两圆内含的一种特殊情况.

2．两圆只有一个公共点，就说这两圆相切，如上图是的（2）（4），同样找出它们的区别，其中（2）叫外切，（4）叫内切.

3．两圆有两个公共点，就说这两个圆相交，如上图（3）.因此两圆的位置关系为：（大屏幕投影）

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图1）　

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图2）

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图3）

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图4）

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图5）．两圆同心是两圆内含的一个特例．（图6）

【设计意图】创设一种活动情境让学生依照两圆公共点个数，将两圆的位置进行分类，得到相离、相切、相交，然后引导学生讨论，如何准确的描述两圆更具体的位置关系，学生观察讨论，（1）与（5）、（2）与（4）的区别，从面得出两圆的五种位置关系.

教师重点关注：学生的语言表述能力即表达的准确性.

大屏幕展示圆和圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含.

温馨提示：两圆相交连接两个交点的弦叫两圆的公共弦，两个圆相交也有两种情况：即两圆的圆心在公共弦的两侧，两个圆的圆心在公共弦的同侧.教师给出图形.

【设计意图】随着学习的深入，知识拓展的宽度逐渐增大，一些问题同学们考虑相交的两种情况，才能全面正确的解决问题.

2．圆和圆的位置关系的判定

师：如图，设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，同学们观察此时R，r和d之间有何数量关系?

生：

 两圆外离d＞R+r            两圆外切d＝R+r       两圆相交R－r＜d＜R+r  (R＞r)

两圆内切d＝R－r (R＞r)             两圆内含d＜R－r(R＞r)

【设计意图】让学生感知图形的“位置关系”与“数量关系”常常是相互联系的，“位置关系”决定“数量关系”.反之，“数量关系”又是刻画“位置关系”的一种简明的符号语言，并得到两个圆五种位置关系的判定.

⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，填写下表.

(由学生进行口答，强化前边所学知识)

教师重点关注：学生应用 “数量关系”判定两圆“位置关系”的准确性，尤其注意，只有d＞R－ r 或只有d＜R+ r时不能判定两个圆是相交的，只有 R－r＜d＜R+r（R＞r）时才能判定两个圆是相交的.

【设计意图】进一步让学生理解新知，并能熟练准确的应用新知，培养学生全面细致的良好思维品质.

三、交流提高

1．圆与圆的位置关系与数量关系的联系

师：圆与圆有五种不同的位置关系，利用圆心距可衡量，以小组为单位，以表格的形式进行总结．

生：

【设计意图】先由学生交流学到的知识点，形成印记，再通过表格的形式让学生将系统，形成网络，也与前面学习的点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系做类比．让学生形成系统的知识结构，及时总结规律，能够做到举一反三，有利于类比归纳．

【实际效果】利用表格，结合图象，即直观形象又简单易于记忆，学生掌握地很快很好！

2．第133页例

师：两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如左图所示，分隔两个肥皂泡的肥皂膜ＰＱ成一条直线,TP,NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小
设计目的： 这样设计体现了循序渐进的原则，层层递进的问题旨在更好的激发学生的兴趣，激励学生敢于迎接挑战.加深对知识的理解，形成系统的知识.通过老师板书示范,让学生注意解题的规范性.

3．拓展探索

两个圆组成的图形是轴对称吗？如果是那么对称轴是什么？如果两圆相切，切点与对称轴有什么关系？提示，学生可以用折纸方法进行探究.（学生分组讨论，小组选代表回答问题）

大屏幕出示：正确结论.

两圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是通过两圆圆心的直线（连心线），两圆相切时，因为切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在连心线上即对称轴上.

【设计意图】设计折纸活动实质上是让学生感知两圆组成的图形是轴对称图形，并让学生通过自己的活动从心理上认同经过两圆圆心的直线（即连心线）是两圆组成图形的对称轴为探索两相切、两圆相交的性质创设学习情境.

四、拓展应用

已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径？（学生自己解答）最后教师给出图形及解答过程.

教师重点关注：学生是否考虑到两圆相切的两种情况，还有就是两圆内切时，因为不知道两圆半径的大小，还要分两种情况进行讨论.

【设计意图】培养学生严谨缜密的思维品质，加强“分类讨论”数学思想的训练.

五、总结升华

这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？

教师引导学生回顾、思考、交流.

教师重点关注：

1．学生的归纳总结能力.

2．能否对问题有进一步的思考.

3．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程.

4．学生对两圆位置及数量关系的掌握及熟练程度，对拓展知识的理解程度.

【设计意图】回顾、总结、矫正、提高学生的自觉形成本节课的知识网络.

六．当堂反馈

1.判断下列正误

（１）两圆没有公共点，则两圆外离（　　　）

（２）两圆只有一个公共点，则两圆相切（　　　　）

（３）相切两圆半径分别是2和4,则圆心距是6（　　　）

（４）相切两圆的连心线必过切点（　　　）

（５）两圆的连心线所在的直线一定是两圆的公共对称轴（　　　）

2.如果两个圆的半径长分别是方程的两实根，且圆心距是5,则这两圆的位置关系是           .

3.如果相切两个圆的半径长分别是3和5,则圆心距为          .

4.如果两个圆的半径长分别是R、r，圆心距为d，且，则这两圆的位置关系是         .

5.两圆的半径之比为3：5,当两圆内切时，圆心距是4,则两圆外切时，圆心距为          .

七、作业设置:数学助学

板书设计:

教学反思:

在归纳圆和圆的五种位置关系时，学生很容易得到结论，但从数量关系上判定两圆位置关系时则显得比较抽象.教师应给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使探究学习更具实效性.

充分开发和利用现实生活中的教学素材，尽可能地设计具有挑战性的情境或活动，有效激发学生的求知和探索的欲望.在教学中还要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验.在教学中还要鼓励学生动手、动脑和动口，使学生在学习活动中获得成功.

在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程，看学生是否能积极在投入到数学活动中去，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验.