高中人教版新课标A2.1.2指数函数及其性质课堂检测

2.1.2.2

一、选择题

1．当a>1时，函数y＝是(　　)

A．奇函数　　　　　　    B．偶函数

C．既奇又偶函数       D．非奇非偶函数

[答案]　A

[解析]　由ax－1≠0得x≠0，

∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

又∵f(－x)＝＝＝

＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．

2．一批价值a万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)

A．na(1－b%)        B．a(1－nb%)

C．a[1－(b%)n]        D．a(1－b%)n

[答案]　D

3．函数y＝3x与y＝()x的图象(　　)

A．关于x轴对称       B．关于y轴对称

C．关于原点对称       D．关于直线y＝x对称

[答案]　B

4．若定义运算a*b＝，则函数f(x)＝3x*3－x的值域是(　　)

A．(0,1]         B．[1，＋∞)

C．(0，＋∞)        D．(－∞，＋∞)

[答案]　A

[解析]　f(x)＝3x*3－x＝

∴f(x)∈(0,1]，故选A.

5．若－1<a<0，则有(　　)

A．2a>()a>0.2a        B．()a>0.2a>2a

C．0.2a>()a>2a        D．2a>0.2a>()a

[答案]　C

[解析]　解法1：∵a<0，∴2a<2－a＝()a,0.2a＝()a>()a，∴0.2a>()a>2a，故选C.

解法2：在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝x与y＝0.2x的图象如图，

∵－1<a<0，

当x＝a时，由图可见

2a<a<0.2a，∴选C.

6．设a、b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是(　　)

A．aa<ab         B．ba<bb

C．aa<ba         D．bb<ab

[答案]　C

[解析]　解法1：∵0<a<1，∴y＝ax是减函数，

又∵a<b，∴aa>ab.排除A；

同理得ba>bb，排除B.

在同一坐标系中作出y＝ax与y＝bx的图象．

由x>0时“底大图高”知x>0时，y＝bx图象在y＝ax图象上方，当x＝b时，立得bb>ab，排除D；

当x＝a时，ba>aa，∴选C.

解法2：取特值检验，令a＝，b＝，则aa＝，ab＝，ba＝，bb＝，排除A、B、D，∴选C.

7．设函数f(x)＝   若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)

A．(－1,1)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[答案]　D

∴x0>1.综上所述：x0<－1或x0>1.

8．已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是(　　)

A．x＋y>0  B．x＋y<0

C．x－y>0  D．x－y<0

[答案]　A

[解析]　作函数f(x)＝2x－3－x.

因为2x为增函数，由3－x＝()x为减函数，知－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数，

由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)可知f(x)>f(－y)．

又f(x)为增函数，所以x>－y，故x＋y>0.选A.

二、填空题

9．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为________．

[答案]　或

[解析]　注意进行分类讨论

(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时

f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a

∴a2－a＝，解得a＝>1.

(2)当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，此时

f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a2

∴a－a2＝，解得a＝∈(0,1)

综上所述：a＝或.

10．不等式3x2<()x－2的解集为________．

[答案]　(－2,1)

[解析]　原不等式即3x2<32－x⇒x2<2－x⇒x2＋x－2<0⇒－2<x<1.

11．函数y＝()|1－x|的单调递减区间是________．

[答案]　[1，＋∞)

[解析]　y＝()|1－x|＝

因此它的减区间为[1，＋∞)．

12．当x>0时，指数函数y＝(a2－3)x的图象在指数函数y＝(2a)x的图象的上方，则a的取值范围是________．

[答案]　a>3

[解析]　ⅰ)a2－3>2a>1解得：a>3；ⅱ)a2－3>1>2a>0不等式无解；ⅲ)1>a2－3>2a>0不等式无解；综上所述a>3.

三、解答题

13．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．

[解析]　解法1：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1<x2，

(1)当x1<x2≤1时，x1＋x2<2，则有x2＋x1－2<0，

又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，

又∵对于x∈R，f(x)>0恒成立，∴f(x2)>f(x1)，

∴函数f(x)＝()x2－2x在(－∞，1]上单调递增．

(2)当1≤x1<x2时，

x1＋x2>2，则有x2＋x1－2>0，

又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．

综上所述，函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．

∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，又0<<1，

∴0<()x2－2x≤()－1＝5，

∴函数f(x)的值域是(0,5]．

解法2：∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2－2x，u＝()t，又∵t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u＝()t在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上是减函数．

以下求值域方法同上．

14．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数值域．

[分析]　本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．

[解析]　①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．

即－[＋a]＝＋a，

∴2a＝－－＝1，∴a＝.

②∵2x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)

∵u＝2x－1>－1且u≠0，∴<－1或>0

∴＋<－或＋>

∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．

15．对于函数y＝()x2－6x＋17，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．

[解析]　(1)设u＝x2－6x＋17，

∵函数y＝()u及u＝x2－6x＋17的定义域是R，

∴函数y＝()x2－6x＋17的定义域是R.

∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，

∴()u≤()8＝，

又∵()u>0，∴函数的值域为{y|0<y≤}．

(2)∵函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，

∴当3≤x1<x2<＋∞时，有u1<u2.

∴y1>y2，

即[3，＋∞)是函数y＝()x2－6x＋17的单调递减区间；

同理可知，(－∞，3]是函数y＝()x2－6x＋17的单调递增区间．

16．已知f(x)＝.

(1)求证f(x)是定义域内的增函数；

(2)求f(x)的值域．

[解析]　(1)证法1：f(x)＝＝

＝1－.

令x2>x1，则

f(x2)－f(x1)＝

.

故当x2>x1时，f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．

证法2：考虑复合函数的增减性．

由f(x)＝＝1－.

∵10x为增函数，∴102x＋1为增函数，为减函数，－为增函数．

∴f(x)＝1－在定义域内是增函数．

(2)令y＝f(x)．由y＝，解得102x＝.

∵102x>0，∴－1<y<1.即f(x)的值域为(－1,1)．