高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数测试题

这是一份高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数测试题，共6页。

课时作业(八)　[第8讲　指数函数、对数函数、幂函数]



[时间：45分钟　　分值：100分]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．[2011·沈阳模拟] 集合A＝{(x，y)|y＝a}，集合B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．R
2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是(　　)
①任取x∈R都有3x>2x；②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x；③y＝()－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象对称于y轴．
A．①②④ B．④⑤
C．②③④ D．①⑤
3．[2011·郑州模拟] 函数y＝(0
图K8－1
4．[2011·聊城模拟] 若函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤－1 B．－1≤m＜0
C．m≥1 D．0＜m≤1

5．[2010·湖北卷] 已知函数f(x)＝则f＝(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
6．[2011·郑州模拟] 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知当x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　　)
A．是增函数，且f(x)<0
B．是增函数，且f(x)>0
C．是减函数，且f(x)<0
D．是减函数，且f(x)>0
7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c C．b 8．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图K8－2所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

图K8－2

图K8－3
9．[2011·锦州一模] 设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的.若过滤n次后，流出的水中有害物质在原来的1%以下，则n的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010)．
11．若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则a的取值范围为________．
12．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
13．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，则f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值为________．
14．(10分)设f(x)＝ax＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)的定义域为[1,4]，且在定义域内g(x)＝f(x)－1，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，其定义域为[2,16]，求h(x)的解析式；
(3)求函数y＝g(x)＋h(x)的值域．









15．(13分)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数(其中e≈2.718 28)．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．










16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．






































课时作业(八)
【基础热身】
1．B　[解析] ∵y＝bx＋1>1，如果A∩B只有一个子集，则A∩B＝∅，∴a≤1.
2．B　[解析] 利用指数函数的性质判断．
3．D　[解析] x>0时，y＝ax；x<0时，y＝－ax.即把函数y＝ax(00时不变，在x<0时，沿x轴对称．
4．A　[解析] ∵|1－x|≥0，∴2|1－x|≥1.
∵y＝2|1－x|＋m≥1＋m，
∴要使函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，
则1＋m≤0，即m≤－1.
【能力提升】
5．B　[解析] 根据分段函数可得f＝log3＝－2，则ff＝f(－2)＝2－2＝，所以B正确．
6．D　[解析] 由于x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增且f(x)>0，又因f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(－1,0)上单调递减且f(x)>0，又因f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)的区间(1,2)上递减且f(x)>0，故选D.
7．B　[解析] log3＝－log23＝－log49，b＝f＝f(－log49)＝f(log49)，log47＝2>log49.
又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(0.2－0.6) 8．A　[解析] 由图形可知b<－1,0 9．C　[解析] f(x)<0⇔loga(a2x－2ax－2)<0⇔loga(a2x－2ax－2)1，即(ax)2－2ax＋1>4⇔(ax－1)2>4⇔ax－1>2或ax－1<－2，所以ax>3或ax<－1(舍去)，因此x 10．4　[解析] 设原有的有害物质为a，则过滤n次后有害物质还有na，令n＜1%，则n＞，即n≥4，所以n的最小值为4.
11．a>1　[解析] 函数f(x)是由φ(x)＝ax2－x和y＝logaφ(x)复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a>1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是增函数且大于零．故有解得a>，∴a>1.
(2)当a<1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是减函数且大于零.不等式组无解．
综上所述，存在实数a>1使得函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．
12．a>1　[解析] 设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点．由图象可知，当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.
13.　[解析] 由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1，
∴M＝{x|x＞3或x＜1}．
f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2＝－32＋.
∵x＞3或x＜1，∴2x＞8或0＜2x＜2，
∴当2x＝，即x＝log2时，f(x)最大，最大值为.
14．[解答] (1)由f(0)＝2得b＝1.
由f(x＋1)＝2f(x)－1得
ax＋1＋1＝2(ax＋1)－1，即ax(a－2)＝0.
由于ax>0，得a＝2，
所以f(x)＝2x＋1.
(2)由题意知x∈[1,4]时g(x)＝f(x)－1＝2x，
由于函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，
所以h(x)＝log2x，x∈[2,16]．
(3)由已知可得y＝2x＋log2x，且g(x)，h(x)两个函数的公共定义域是[2,4]，所以函数y＝2x＋log2x，x∈[2,4]．
由于函数g(x)，h(x)在区间[2,4]上均为增函数，
因此当x＝2时，ymin＝5；当x＝4时，ymax＝18.
所以函数y＝g(x)＋h(x)的值域为[5,18]．
15．[解答] (1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex，
所以＝0对一切x∈R成立．
由此得到a－＝0，即a2＝1.
又因为a>0，所以a＝1.
(2)证明：设0 f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－
＝(ex2－ex1)
＝ex1(ex2－x1－1)·
由x1>0，x2>0，x2－x1>0，
得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，得f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，则有f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(3)＝log23>0，即f(3)>f(0)，又f(x)是R上的单调函数，所以f(x)在R上是增函数．
又由(1)知f(x)是奇函数．
f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0⇔f(k·3x)0对任意x∈R恒成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．
令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝，
当t＝≤0，即k≤－1时，g(0)＝2>0，符合题意；
当t＝>0，即k>－1时，则需满足g>0，解得－1 综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．
本题还有更简捷的解法：
分离系数由k<3x＋－1，令u＝3x＋－1，u的最小值为2－1，
则要使对任意x∈R不等式k<3x＋－1恒成立，只要使k<2－1.