《指数函数》教案15

2．6　 指数函数

【要点导学】

  1、指数函数的定义

形如的函数 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.

指数函数的解析式的结构特征是：的系数是1，且指数是. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如，这是因为它的解析式可以等价化为.

2、指数函数的图象和性质

指数函数的图象和性质是在及这两种情况下分别给出的，的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，掌握指数函数的图象特征，有利于进一步理解和应用指数函数的性质.

【范例精析】

例1　求下列函数的定义域和值域：

          （1） ；             （2）.

  思路剖析　根据函数式的特征,结合指数函数的性质求解.

解题示范　(1) 要使函数有意义，必须 即 .

                   ∵,         ∴.

                    又∵ ,         ∴且.

               ∴函数的定义域为,值域为.

(2)要使函数有意义，必须, 即 .

  当时 ,  ；    当时 ，.

 ∵,   ∴  .

 又,      ∴

∴当时,函数的定义域为,当时,函数的定义域为.值域为.

回顾反思　1、对于求指数函数与其它函数复合而成的函数的定义域时,充当指数的式子取全体实数都有意义,求值域时,要注意到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.

2、在利用指数函数的单调性解题时，要特别注意的范围，的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，当的范围不确定时，要对分及两种情况分别求解，以区别它不同的增减情况.

例2　将下列各数从小到大排列起来：

   ，，，，，，，

思路剖析　先确定所要比较的几个数是大于0，还是小于0，然后再分别对（0，1）和（1，+）内的数运用指数函数的单调性比较大小.

解题示范　<0，=1；

，，>1；

0<，，<1.

∵,∴>>=.

 同理可得<<.

∴<<<<<<<.

回顾反思　比较幂的大小，可先与特殊值0，1进行比较，然后再利用指数函数的单调性进行比较.当指数相同，底数不同时，可用作商法比较大小，如本题中比较 与的大小.

例3　求函数的单调区间，并证明之.

思路剖析　先利用复合函数的单调性求出单调区间,然后再用函数单调性的定义证明.

解题示范　令，

∵在R上为减函数，

∴要求的单调区间，只要求的单调区间即可.

∵在上单调递减，在上单调递增,

∴函数的递增区间为上单调，递减区间为.

证明：令，.

设 ， 则=

 =.

           ∵ ,      ∴.

            当时， ,

这时,

     ∴，

∴上为减函数.

            当时，,

 这时,

              ∴，

∴上为增函数.

∵在R上为减函数，

   ∴函数在上单调递增，在上单调递减.

回顾反思　求由指数函数与其它函数复合而成的函数的单调区间，常利用复合函数法求解.对于指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法，但考虑到指数函数单调性的特点，常转化为用定义证明的单调性.

例4　已知 ，求 的值域.

思路剖析　根据条件对目标函数消元，将目标函数转化为熟悉的函数.

解题示范　∵,∴.

∴ ,

令，则，

∵当时，为增函数，

∴，即.

∴的值域为（.

回顾反思　消元法是数学中的常用方法，当所求目标中的变量较多时，常用消元法消去多余的变量，使问题变得明了、清晰.在求解本题时，还需要注意指数函数本身的特点.

例5　画出函数 的图象，并利用图象回答：为何值时，方程  无解？有一解？有两解？

思路剖析　先利用图象变换法作出函数的图象，再运用数形结合法求解.

解题示范　先作函数的图象，然后将的图象向下平移1个单位，再将所得图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴的上方，得的图象，如图所示.

由图象可得，当 < 0时，直

线与函数 的图象

无交点, ∴原方程无解.

当 = 0或 ≥ 1时，直线

y = k与函数 的图象有

一个交点，∴原方程有一解.

当 0 << 1时，直线

与函数 的图象有两个交点, ∴原方程有两解.

回顾反思　本题的解法体现了数形结合的思想，数形结合法是数学中的重要思想方法，遇到方程根的个数问题、字母的取值范围问题、函数的最值问题等常要用数形结合法求解.

【能力训练】

一、选择题

1、下列函数一定是指数函数的是                                    （      ）

    Ａ、       B、       C、       D、

2、若函数是指数函数，则有                       （      ）

   A、   B、          C、          D、

3、函数的单调递增区间是                              （      ）

   A、       B、       C、         D、

4、若，则下列不等式中成立的是                       （      ）

   A、                 B、
    C、                D、

5、若函数的图象在第一、三、四象限内，则（   ）

 A、      B、且     C、     D、

二、填空题

6、函数 的图象必经过定点________．

7、若，则的取值范围是____________.

8、若关于的方程有负根，则实数的取值范围是_____________.

9、函数的值域是______________.

10、当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是________.

三、解答题

11、  设 ，其中> 0， 1，问为何值时有

（1） ？（2）？

12、求函数 的定义域、值域、单调区间，并作出其图象.

13、求下列函数的单调区间：

   （1） ；         （2）.

14、已知函数的值域为[7，43]，试确定的取值范围.

15、若,  ， 求 z 的取值范围.

【素质提高】

16、若函数的定义域为R,求实数的取值范围.

17、画出函数   的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 无解？有一解？有两解？

18、已知都是正整数,,当取怎样的值时,长分别为的三线段能构成三角形?

2.6      指数函数

     1、C      2、C     3、A       4、B      5、B    6、（１，２）      7、      8、      9、     10、            11、（1）；（2）当 0<<1时，1<<3；当> 1时，<1 或>3         12、定义域R , 值域,增区间,减区间 ,图象略          13、（1）增区间 ，     减区间；（2）增区间 ，减区间     14、[2，3]    15、   16、     17、当 k<0或k>时，无解；当 时，方程有唯一解 (x = 0) ；当 k = 0时，方程有两解 (x =±1) ；当 时，方程有四个不同解    18、，