《函数单调性错例剖析》文字素材5（人教A版必修1）教案

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函数单调性错例剖析    函数的单调性是函数基本性质之一，《考试大纲》对本性质作了重要的要求，它的应用非常广泛，但同学们在解题时，往往由于应用不熟练而导致错误，现举几例说明。    一、忽视单调性     例1 已知函数f（x）=x2-x-1，x∈[-1，]，求f（x）的最大值和最小值。    错解：∵f（-1）=1+-1=，f（）=3-2-1=0，    ∴f（x）的最大值和最小值分别为和0。    剖析：以上解法忽视了函数的单调性，由题设知函数f（x）在[-1，]上单调递减，在[，]上单调递增，因而当x=时，f（x）取得最小值。    解：∵f（x）=（x-）2-，x∈[-1，]，    ∴当x=时，f（x）的最小值为-，当x=-1时，f（x）的最大值为。    二、不理解单调性定义例2  判断函数f（x）=的单调性。错解：f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），设x1＜x2＜-1，则f（x2）-f（x1）=-=。∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0   x1+1＜0  x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞,-1)上为减函数，同理可得f（x）在（-1，+∞）上也是减函数，故f（x）在（-∞，-1）∪（-1，+∞）为减函数。剖析：对函数单调性理解不够导致错误，对于单调性只能是在某个指定区间上来说的，不能用并集表示单调区间。正解：f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），设x1＜x2＜-1，则f（x2）-f（x1）=-=∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1+1＜0，x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞，-1）为减函数。同理可得f（x）在（-1，+∞）上也是减函数。∴f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上都是减函数。三、错用函数的单调性例3  利用定义判断函数f（x）=x+在区间（-∞，+∞）上的单调性。错解：设x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，-＜0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。故函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数。剖析：该解法失误在于错用了g（x）=的单调性，而实际上在R上g（x）=不具备单调性。例如g（-1）=g（1）或由数形结合可知。正解：设x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）+=（x1-x2）+=∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又∵+＞0，+x1＞|x1|+x1≥0，+x2＞|x2|+x2≥0∴++x1+x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数。点评：利用定义法判断函数单调性时，一般要将f（x1）-f（x2）化成几个因式的乘积的形式。